Русская Википедия:Кривая Безье
Кривы́е Безье́ — типы кривых, предложенные в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей.
Несмотря на то, что открытие де Кастельжо было сделано несколько ранее Безье (1959), его исследования не публиковались и скрывались компанией как производственная тайна до конца 1960-х.
Кривая Безье является частным случаем многочленов Бернштейна, описанных русским математиком Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году.
Впервые кривые были представлены широкой публике в 1962 году французским инженером Пьером Безье, который, разработав их независимо от де Кастельжо, использовал их для компьютерного проектирования автомобильных кузовов. Кривые были названы именем Безье, а именем де Кастельжо назван разработанный им рекурсивный способ определения кривых (алгоритм де Кастельжо).
Впоследствии это открытие стало одним из важнейших инструментов систем автоматизированного проектирования и программ компьютерной графики.
Определение
Пусть в пространстве <math>\mathbb{R}^m</math> размерности <math>m \geqslant 1</math> над <math>\mathbb{R}</math> задана последовательность контрольных точек <math>(\mathbf{P}_{0}, \ldots, \mathbf{P}_{n})</math>, где <math>n \geqslant 0</math>, а <math>\mathbf{P}_k=(x_{1,k},\ldots,x_{m,k})</math> для <math>k=0,\ldots,n</math>.
Тогда множество <math>\left\{\mathbf{B}(t)|0\leqslant t\leqslant 1\right\}</math> точек <math>\mathbf{B}(t)=(z_{1}(t),\ldots,z_{m}(t))</math> с координатами <math>(z_{j}(t))_{j=1,\ldots,m}</math>, параметрически задаваемыми выражениями
- <math>z_{j}(t)=\sum^n_{k=0} x_{j,k} b_{k,n}(t) \quad</math> для <math>\quad 0\leqslant t\leqslant 1, \quad</math> где <math>\quad j=1,\ldots,m, \quad</math> а <math>\quad b_{k,n}(t)={n \choose k} t^k(1-t)^{n-k} \quad</math> для <math>\quad k=0,\ldots,n</math>,
называется кривой Безье.
Многочлен <math>b_{k,n}(t)</math> степени <math>n</math> по параметру <math>t</math> называется базисной функцией (соответствующей контрольной точке <math>\mathbf{P}_{k}</math>) кривой Безье или полиномом Бернштейна.
Здесь <math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> — число сочетаний из <math>n</math> по <math>k</math>.
Замечания
- Кривая Безье, соответствующая как <math>(\mathbf{P}_{0})</math> так и <math>(\mathbf{P}_{0}, \mathbf{P}_{0}, \ldots, \mathbf{P}_{0})</math>, есть точка <math>\mathbf{P}_{0}</math>.
- Кривая Безье, соответствующая паре <math>(\mathbf{P}_{0}, \mathbf{P}_{1})</math>, то есть, при <math>n=1</math>, есть (линейно) параметризованный отрезок, соединяющий точку <math>\mathbf{P}_{0}</math> (при <math>t=0</math>) с точкой <math>\mathbf{P}_{1}</math> (при <math>t=1</math>).
- При любом порядке <math>n\geqslant 0</math> кривая Безье содержит как точку <math>\mathbf{P}_{0}</math> (это — образ параметра <math>t = 0</math>), так и точку <math>\mathbf{P}_{n}</math> (это — образ параметра <math>t = 1</math>).
- Кривая Безье (в общем случае, то есть, если не выродилась в точку <math>\mathbf{P}_{0}</math>) ориентируема, поскольку является образом ориентированного отрезка <math>[0;1]</math>. Последовательностям контрольных точек <math>(\mathbf{P}_{0}, \mathbf{P}_{1}, \ldots, \mathbf{P}_{n-1}, \mathbf{P}_{n})</math> и <math>(\mathbf{P}_{n}, \mathbf{P}_{n-1}, \ldots, \mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{0})</math> соответствуют кривые Безье, которые совпадают как множества точек, но имеют (в общем случае) противоположные ориентации.
- Кривые Безье, соответствующие последовательностям контрольных точек <math>(\mathbf{P}_{0}, \mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2})</math> и <math>(\mathbf{P}_{0}, \mathbf{P}_{2}, \mathbf{P}_{1})</math>, при <math>\mathbf{P}_{1} \neq \mathbf{P}_{2}</math> не совпадают.
- Если изменить <math>(x_{j,0},\ldots,x_{j,n})</math>, то изменяется только <math>z_{j}(t)</math>.
Виды кривых Безье
Линейные кривые
При n = 1 кривая представляет собой отрезок прямой линии, опорные точки P0 и P1 определяют его начало и конец. Кривая задаётся уравнением:
- <math>\mathbf{B}(t)=(1-t)\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1 \quad t \in [0,1]</math>.
Квадратичные кривые
Квадратичная кривая Безье (n = 2) задаётся тремя опорными точками: P0, P1 и P2.
- <math>\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)\mathbf{P}_1 + t^{2}\mathbf{P}_2, \quad t \in [0,1]</math>.
Квадратичные кривые Безье в составе сплайнов используются для описания формы символов в шрифтах TrueType и в SWF-файлах.
- <math>t = \frac{\mathbf{P}_0 - \mathbf{P}_1 \pm \sqrt{(\mathbf{P}_0 - 2\mathbf{P}_1 + \mathbf{P}_2)\mathbf{B} + \mathbf{P}_1^2 - \mathbf{P}_0\mathbf{P}_2}}{\mathbf{P}_0 - 2\mathbf{P}_1 + \mathbf{P}_2}, \quad \mathbf{P}_0 - 2\mathbf{P}_1 + \mathbf{P}_2 \neq 0</math>
- <math>t = \frac{\mathbf{B} - \mathbf{P}_0}{2(\mathbf{P}_1 - \mathbf{P}_0)}, \quad \mathbf{P}_0 - 2\mathbf{P}_1 + \mathbf{P}_2 = 0, \quad \mathbf{P}_0 \neq \mathbf{P}_1 </math>
- <math>t = \sqrt{\frac{\mathbf{B} - \mathbf{P}_0}{\mathbf{P}_2 - \mathbf{P}_1}}, \quad \mathbf{P}_0 = \mathbf{P}_1 \neq \mathbf{P}_2</math>
Кубические кривые
В параметрической форме кубическая кривая Безье (n = 3) описывается следующим уравнением:
- <math>\mathbf{B}(t) = (1-t)^3\mathbf{P}_0 + 3t(1-t)^2\mathbf{P}_1 + 3t^2(1-t)\mathbf{P}_2 + t^3\mathbf{P}_3, \quad t \in [0,1]</math>.
Четыре опорные точки P0, P1, P2 и P3, заданные в 2- или 3-мерном пространстве, определяют форму кривой.
Линия берёт начало из точки P0, направляясь к P1 и заканчивается в точке P3, подходя к ней со стороны P2. То есть, кривая не проходит через точки P1 и P2, они используются для указания её направления. Длина отрезка между P0 и P1 определяет, как скоро кривая повернёт к P3.
В матричной форме кубическая кривая Безье записывается следующим образом:
- <math>\mathbf{B}(t) = \begin{bmatrix}t^3&t^2& t& 1\end{bmatrix}\mathbf{M}_B
\begin{bmatrix}\mathbf{P}_0\\\mathbf{P}_1\\\mathbf{P}_2\\\mathbf{P}_3\end{bmatrix}</math>, где <math>\mathbf{M}_B</math> называется базисной матрицей Безье:
- <math>\mathbf{M}_B = \begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}</math>
В современных графических системах и форматах, таких как PostScript (а также основанные на нём форматы Adobe Illustrator и Portable Document Format (PDF)), Scalable Vector Graphics (SVG)[1], Metafont, CorelDraw и GIMP для представления криволинейных форм используются сплайны Безье, составленные из кубических кривых.
Построение кривых Безье
Линейные кривые
Параметр t в функции, описывающей линейный случай кривой Безье, определяет, где именно на расстоянии от P0 до P1 находится B(t). Например, при t = 0,25 значение функции B(t) соответствует четверти расстояния между точками P0 и P1. Параметр t изменяется от 0 до 1, а B(t) описывает отрезок прямой между точками P0 и P1.
Квадратичные кривые
Для построения квадратичных кривых Безье требуется выделение двух промежуточных точек Q0 и Q1 из условия, чтобы параметр t изменялся от 0 до 1:
- Точка Q0 изменяется от P0 до P1 и описывает линейную кривую Безье.
- Точка Q1 изменяется от P1 до P2 и также описывает линейную кривую Безье.
- Точка B изменяется от Q0 до Q1 и описывает квадратичную кривую Безье.
Кривые высших степеней
Для построения кривых высших порядков соответственно требуется больше промежуточных точек. Для кубической кривой это промежуточные точки Q0, Q1 и Q2, описывающие линейные кривые, а также точки R0 и R1, которые описывают квадратичные кривые: более простое уравнение <math>\frac{P_{0}Q_{0}}{P_{0}P_{1}}=\frac{Q_{1}P_{1}}{P_{1}P_{2}}=\frac{BR_{0}}{R_{1}R_{0}}</math>.
Для кривых четвёртой степени это будут точки Q0, Q1, Q2 и Q3, описывающие линейные кривые, R0, R1 и R2, которые описывают квадратичные кривые, а также точки S0 и S1, описывающие кубические кривые Безье:
Свойства кривой Безье
- непрерывность заполнения сегмента между начальной и конечной точками;
- кривая всегда располагается внутри фигуры, образованной линиями, соединяющими контрольные точки;
- при наличии только двух контрольных точек сегмент представляет собой прямую линию;
- прямая линия образуется при коллинеарном (на одной прямой) размещении управляющих точек;
- кривая Безье симметрична, то есть обмен местами между начальной и конечной точками (изменение направления траектории) не влияет на форму кривой;
- масштабирование и изменение пропорций кривой Безье не нарушает её стабильности, поскольку с математической точки зрения она «аффинно инвариантна»;
- изменение координат хотя бы одной из точек ведет к изменению формы всей кривой Безье;
- любой частичный отрезок кривой Безье также является кривой Безье;
- степень (порядок) кривой всегда на одну ступень меньше числа контрольных точек. Например, при трёх контрольных точках форма кривой — парабола, так как парабола — кривая 2-го порядка;
- окружность не может быть описана параметрическим уравнением кривой Безье;
- невозможно создать параллельные кривые Безье, за исключением тривиальных случаев (прямые линии и совпадающие кривые), хотя существуют алгоритмы, строящие приближённую параллельную кривую Безье с приемлемой для практики точностью.
Применение в компьютерной графике
Шаблон:Main Благодаря простоте задания и манипуляции кривые Безье нашли широкое применение в компьютерной графике для моделирования гладких линий. Кривая целиком лежит в выпуклой оболочке своих опорных точек. Это свойство кривых Безье с одной стороны значительно облегчает задачу нахождения точек пересечения кривых (если не пересекаются выпуклые оболочки опорных точек, то не пересекаются и сами кривые), а с другой стороны позволяет осуществлять интуитивно понятное управление параметрами кривой в графическом интерфейсе с помощью её опорных точек. Кроме того, аффинные преобразования кривой (перенос, масштабирование, вращение и др.) также могут быть осуществлены путём применения соответствующих трансформаций к опорным точкам.
Наибольшее значение имеют кривые Безье второй и третьей степеней (квадратичные и кубические). Кривые высших степеней при обработке требуют большего объёма вычислений и для практических целей используются реже. Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут быть последовательно соединены друг с другом в сплайн Безье. Для того, чтобы обеспечить гладкость линии в месте соединения двух кривых, три смежные опорные точки обеих кривых должны лежать на одной прямой. В программах векторной графики, например Adobe Illustrator или Inkscape, подобные фрагменты известны под названием «путей» (path), а в 3DS Max и подобных программах 3D-моделирования кривые Безье имеют название «сплайны».
Преобразование квадратичных кривых Безье в кубические
Квадратичная кривая Безье с координатами <math>(x_0;y_0),\,(x_1;y_1),\,(x_2;y_2)</math> преобразовывается в кубическую кривую Безье с координатами <math>(x_0;y_0),\,\left(x_0+\frac{2 \cdot (x_1-x_0)}{3}; y_0+\frac{2 \cdot (y_1-y_0)}{3}\right),\,\left(x_1+\frac{x_2-x_1}{3}; y_1+\frac{y_2-y_1}{3}\right),\,(x_2;y_2)</math>.
Уровень дискретизации Кривых Безье[2]
Уровень дискретизации определяется следующим образом:
<math>|B_{next}-B_{prev}|=1</math>
, то есть каждая следующая точка должна отличаться от предыдущей на 1 (допустим пиксель). Причём, если задать <math>B</math> следующим образом:
<math>\left \vert \sum_{k=0}^n{\frac{n!}{k! \times(n-k)!}\times t_{next}^k \times (1-t_{next})^{n-k} \times P_k}-\sum_{k=0}^n{\frac{n!}{k! \times(n-k)!}\times t_{prev}^k \times (1-t_{prev})^{n-k} \times P_k} \right \vert = 1</math>
Через него можно вычислить <math>\Delta{t} </math>.
Решим это уравнение для кривых Безье первого порядка (линейных):
<math>B(t) = (1-t)\times P_0 + t \times P_1, 0\leq t\leq1 </math>
<math>B(t) = \begin{cases} x=(1-t) \times P_{0_x} + t \times P_{1_x}\\ y=(1-t) \times P_{0_y} + t \times P_{1_y} \end{cases}</math>
Запишем разницу точек для одной оси:
<math>{\left \vert P_0-t_{next} \times P_0 + t_{next} \times P_1 -P_0 +t_{prev} \times P_0 - t_{prev} \times P_1 \right \vert} = 1</math>
Вынесем общие множители за скобки:
<math>{\left \vert t_{next} \times (P_0-P_1) - t_{prev} \times (P_0-P_1)\right \vert} = 1 </math>
Найдём <math>\Delta{t} </math>:
<math>\Delta{t}={\left \vert t_{next} - t_{prev}\right \vert} = \left \vert \frac{1}{P_0-P_1} \right \vert </math>
так можно вычислить уровень дискретизации для обхода конкретной оси кривой Безье определённого порядка. То есть Вам нужно получить 16 таких уравнений для кривых Безье с 1го по 16 порядок, она всегда задаётся точками, их координаты достаточно будет подставить в полученное уравнение, чтобы обойти кривую с минимальным однозначным уровнем дискретизации.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
- Wolfram Math World Bézier CurveШаблон:Ref-en
- American Mathematical Society From Bézier to BernsteinШаблон:Ref-en
- Кривые Безье в компьютерных играх [1]Шаблон:Ref-ru
- Часы на кривых БезьеШаблон:Ref-ru
- A Primer on Bézier Curves
