Русская Википедия:Кривая Лоренца
Шаблон:Ук Кривая Лоренца (Шаблон:Lang-en) — графическое изображение функции распределения, предложенная американским экономистом Максом Отто Лоренцем в 1905 году как показатель неравенства в доходах населения. Кривая Лоренца представляет функцию распределения, в которой аккумулируются доли численности и доходов населения. В прямоугольной системе координат кривая Лоренца является выпуклой вниз и проходит под диагональю единичного квадрата, расположенного в I координатной четверти.
Определение
Согласно американским экономистам К. Р. Макконнеллу и С. Л. Брю кривая Лоренца — это кривая распределения дохода в экономике, где суммарный процент домохозяйств, получающий доход, отложен на оси абсцисс, а суммарный процент доходов — по оси ординат. Кривая Лоренца демонстрирует степень неравенства распределения доходов: область между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца (практического распределения дохода)[1].
Каждая точка на кривой Лоренца соответствует утверждению вроде «20 самых бедных процентов населения получают всего 7 % дохода». В случае равного распределения каждая группа населения имеет доход, пропорциональный своей численности. Такой случай описывается кривой равенства (line of perfect equality), являющейся прямой, соединяющей начало координат и точку (1;1). В случае полного неравенства (когда лишь один член общества имеет доход) кривая (line of perfect inequality) сначала «прилипает» к оси абсцисс, а потом из точки (1;0) «взмывает» к точке (1;1). Кривая Лоренца заключена между кривыми равенства и полного неравенства.
Кривые Лоренца применяют для распределений не только доходов, но и имущества домохозяйств, долей рынка для фирм в отрасли, природных ресурсов по государствам.
Формула
Формально, если <math>p=F(x)</math> — это доля населения с подушевым доходом не более <math>x</math>, т.е. функция распределения для дохода, то средний доход на душу населения <math>\mu</math> можно вычислить по формуле
- <math> {\mu} = {\int_{0}^{\infty} x\,dF} = {\int_{0}^{\infty} x\,f(x)\,dx} , </math>
где <math>f(x)</math> есть плотность распределения для <math>F(x)</math>, если она существует. Если <math>0 < {\mu} < +\infty,</math> то функция Лоренца определяется формулой
- <math> L(p) = L(F(x)) = \frac{\int_{0}^{x} t\,f(t)\,dt}{\int_{0}^{\infty} t\,f(t)\,dt} = \frac{\int_{0}^{x} t\,f(t)\,dt}{\mu}</math>
(при <math> {\mu} = 0</math> или <math>{\mu} = +\infty</math> функция Лоренца не определена). График функции Лоренца называется кривой Лоренца. Если существует обратная функция <math>x = F^{-1}(p)</math>, то
- <math> L(p) = \frac{\int_{0}^{p} F^{-1}(p)\,dp}{\int_{0}^{1} F^{-1}(p)\,dp}.</math>
Пример. Если <math>F(x)=x^n</math> при <math>0\le x\le 1</math> и <math>F(x)=1</math> при <math>x\ge 1</math>, то <math>L(p)=p^{1+\frac1{n}}</math>. При <math>n\to+\infty</math> функция распределения стремится к функции скачка в точке 1, отвечающей равномерному распределению дохода, а <math>L(p)\to p</math>, то есть кривая Лоренца стремится к кривой равенства.
Присутствие точки <math>(p,L(p))</math> на кривой Лоренца означает, что доля <math>p</math> самых бедных жителей совокупно обладает долей <math>L(p)</math> общего дохода. Например, на приведенном ниже рисунке видно, что на примерно 3/4 самых бедных жителей приходится примерно половина всех доходов.
Производные показатели неравенства
Из кривой Лоренца можно вывести количественные показатели неравенства, например, коэффициент Джини и индекс Робин Гуда.
Индекс Робин Гуда (Robin Hood index), также известный как индекс Гувера (Hoover index), — это ещё один показатель неравенства по доходам, имеющий связь с кривой Лоренца. Он равен той доле дохода общества, которую необходимо перераспределить для достижения равенства. Графически он представим как самый длинный вертикальный отрезок, соединяющий фактическую кривую Лоренца с линией равенства (биссектрисой I координатной четверти).
При абсолютной делимости дохода индекс Гувера принадлежит полуоткрытому интервалу [0;1). Если же доход не делим до бесконечности, то говорят о доле дохода, перераспределение которой максимально приближает данное общество к равенству.
Индекс Робин Гуда широко используется в оценках обеспеченности населённых районов врачами общей практики. При таких оценках кривая Лоренца будет наполняться не доходами, а удельным числом врачей общей практики на местность или группу людей, а ранжировать по данному показателю следует не домохозяйства, а местности или группы людей. Таким образом, он показывает, какую часть докторов следует перенаправить в другие районы для поддержания равной обеспеченности медицинским персоналом на всей исследуемой территории.
Примечания
