Русская Википедия:Кривая роста (спектроскопия)

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Curve of growth.svg
Общий вид кривой роста

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины <math>W</math> спектральной линии поглощения от количества атомов <math>N</math>, которые поглощают излучение в этой линии. Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд.

Кривую роста делят на три качественно различимых области. При малых <math>N</math> оптическая толщина поглощающего слоя мала, и эквивалентная ширина растёт прямо пропорционально <math>W \propto N</math> — эта часть кривой роста называется линейной. При достаточно большом <math>N</math> оптическая толщина становится больше единицы: центральная глубина линии перестаёт расти, происходит насыщение линии в центре и рост эквивалентной ширины продолжается за счёт крыльев линии. На этом участке кривой роста, называемом пологим, <math>W \propto \sqrt{\ln N}</math>. При ещё большем <math>N</math> начинают заметно расти части крыльев, описываемые лоренцевским профилем. Эта часть кривой роста называется областью затухания излучения, на ней <math>W \propto \sqrt{N}</math>.

Кривые роста можно рассчитать теоретически для различных условий в атмосфере звезды. По ним можно определять содержание тех или иных химических элементов в атмосфере звезды, а сравнивая теоретические кривые роста с наблюдаемыми, можно определять различные параметры атмосферы, от которых зависит вид самой кривой роста — например, температуру или скорость микротурбулентных движений.

Зависимость эквивалентной ширины линии поглощения от числа атомов, её образующих, впервые показал в 1931 году Марсел Миннарт.

Описание

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины <math>W</math> спектральной линии поглощения от количества атомов <math>N</math>, которые поглощают излучение в этой линии[1].

Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд. Излучение, выходящее из фотосферы звезды, имеет непрерывный спектр, но при прохождении его через внешние слои звёздной атмосферы излучение поглощается на некоторых длинах волн — в спектре появляются линии поглощения. В каждой такой спектральной линии излучение поглощается определённым атомом в некотором энергетическом состоянии, поэтому чем больше таких атомов на пути излучения, тем сильнее будет поглощение в спектральной линии[1][2]Шаблон:Sfn.

Кривая роста может быть разделена на три части, в порядке возрастания <math>N</math>: линейную, где <math>W \propto N</math>; пологую, или переходную, в которой <math>W \propto \sqrt{\ln N}</math>; и область затухания излучения, где <math>W \propto \sqrt{N}</math>[1].

Теория

Эквивалентная ширина

Файл:Spectral line equivalent width.svg
Кривая — профиль спектральной линии поглощения. Эквивалентная ширина W — это ширина прямоугольника (зелёный цвет) при условии, что его площадь равна площади над профилем линии (синий цвет).

Для описания интенсивности спектральных линий поглощения используется понятие эквивалентной ширины <math>W</math>: это размер области в длинах волн (<math>W_\lambda</math>) или в частотах (<math>W_\nu</math>), в которой непрерывный спектр излучает суммарно столько же энергии, сколько поглощается во всей линии[2].

Более строго <math>W</math> определяется следующим образом. Интенсивность излучения в спектре на частоте <math>\nu</math> обозначается как <math>I_\nu</math>, а интенсивность в таком же спектре при отсутствии рассматриваемой линии — <math>I_\nu^0</math>: для нахождения <math>I_\nu^0</math> проводится экстраполяция соседних с линией областей спектра на область, где наблюдается линия, как если бы она отсутствовала[2]. Вводится параметр <math>a_\nu = 1 - I_\nu / I_\nu^0</math>, называемый глубиной линии и представляющий собой долю излучения на частоте <math>\nu</math>, которая была поглощена. Тогда эквивалентная ширина связана с ним соотношением <math display="inline">W_\nu = \int_{\nu_1}^{\nu_2} a_\nu d \nu</math> или <math display="inline">W_\lambda = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} a_\lambda d \lambda</math> — аналогичные рассуждения можно провести для спектра по длинам волн, а не частотам. Теоретически интегрирование должно производиться от <math>0</math> до <math>\infty</math>, но на практике интегрируют на конечном интервале, включающем в себя основные части линии — как правило, ширина интервала составляет не более нескольких десятков нанометров[3]. В то же время <math>a_\nu</math> связана с оптической толщиной поглощающего слоя <math>\tau_\nu</math> на частоте <math>\nu</math> как <math>a_\nu = 1 - e^{-\tau_\nu}</math>, а <math>\tau_\nu</math> прямо пропорциональна количеству атомов, отвечающих за поглощение в линии, на единицу площади на луче зрения <math>N</math>[4][5][6].

Поведение при малой оптической толщине

В любом случае, когда <math>N</math> мало, то мала и <math>\tau_\nu</math> во всех частях линии. Тогда <math>a_\nu = 1 - e^{-\tau_\nu}</math> возрастает практически линейно с ростом <math>\tau_\nu</math>, и, следовательно, <math>W \propto N</math>. Когда оптическая толщина становится достаточно большой, то рост <math>a_\nu</math> в центре линии замедляется, а затем практически останавливается — линейный рост продолжается, пока оптическая толщина в центре линии <math>\tau_0</math> по порядку величины меньше единицы[7][8]. Увеличение <math>W</math> замедляется, но не прекращается, поскольку в крыльях — боковых частях линии — <math>\tau_\nu</math> ещё невелико. Связь между <math>W</math> и <math>N</math> для оптически толстых сред зависит от вида профиля спектральной линии[1][4][6].

Поведение при большой оптической толщине

Как правило, различные механизмы уширения, отдельно взятые, приводят либо к гауссовскому распределению <math>\tau_\nu</math> (например, тепловое движение атомов), либо к лоренцевскому распределению (к примеру, естественная ширина линии и уширение за счёт столкновений). Совместное действие этих механизмов приводит к образованию фойгтовского профиля, который является свёрткой гауссовского и лоренцевского[9]. Поскольку в лоренцевском профиле крылья убывают гораздо медленнее, чем в гауссовском, то в соответствующем фойгтовском профиле дальние части крыльев в любом случае близки к лоренцевскому профилю. Вид центральной части линии зависит от ширин гауссовского и лоренцевского профилей: если гауссовский профиль значительно шире, то центральная часть фойгтовского профиля будет близка к гауссовскому, и наоборот[6][10].

Гауссовский профиль

Распределение оптической толщины в линии с гауссовским профилем имеет следующий вид[11]:

<math>\tau(x) = \tau_0 \exp \left(-\frac{x^2 \ln 2}{g^2}\right),</math>

где <math>\tau_0</math> — оптическая толщина в центре линии, <math>g</math> — половинная полуширина линии, <math>x</math> — расстояние до центра линии. Для удобства можно сделать замену <math display="inline">u = \frac{x \sqrt{\ln 2}}{g}</math>, тогда <math>u</math> — расстояние от центра линии в величинах доплеровской ширины, равной <math>g / \sqrt{\ln 2}</math>. Эквивалентная ширина линии с такими параметрами может быть выражена так[7][11]:

<math>W = \frac{2g}{\sqrt{\ln 2}} \int_0^\infty \left(1 - \exp \left[-\tau_0 e^{-u^2}\right]\right) du</math>

Интеграл в этом выражении не берётся аналитически, но можно приближённо считать, что при больших <math>\tau_0</math>, соответствующих насыщенным линиям, подынтегральное выражение близко к 0 при больших <math>u</math> и к 1 при малых. Условием границы между «большими» и «малыми» <math>u</math> можно взять значение <math>u_0</math>, при котором <math>\tau_0 e^{-u_0^2} = 1</math>. Это условие выполняется при <math>u_0 = \sqrt {\ln \tau_0}</math>, так что <math>W</math> с хорошей точностью оказывается пропорционально <math>\sqrt{\ln \tau_0}</math>, а значит, <math>W \propto \sqrt{\ln N}</math>[7]. Приближённое вычисление самого интеграла приводит к такому же результатуШаблон:Sfn.

Лоренцевский профиль

В линии с лоренцевским профилем распределение оптической толщины записывают в виде[12]:

<math>\tau(x) = \tau_0 \frac{l^2}{l^2 + x^2},</math>

где <math>\tau_0</math> — оптическая толщина в центре линии, <math>l</math> — половинная полуширина линии, <math>x</math> — расстояние до центра линии. Для удобства делается замена <math display="inline">y = x / l</math>, тогда <math>y</math> — расстояние от центра линии в единицах половинной полуширины. Эквивалентная ширина в этом случае принимает вид[12]:

<math>W = 2l \int_0^\infty \left(1 - \exp \left[-\frac{\tau_0}{y^2 + 1} \right]\right) dy</math>

При достаточно больших <math>\tau_0</math> центр линии оказывается насыщенным, а убывание оптической толщины в крыльях происходит приблизительно как <math>y^{-2}</math>. Тогда ширина приближённо выражается[7][12]:

<math>W = 2l \int_0^\infty \left(1 - \exp \left[-\frac{\tau_0}{y^2} \right]\right) dy</math>

Если сделать замену <math display="inline">z^2 = \tau_0 / u^2</math>[7][12]:

<math>W = 2l \sqrt{\tau_0} \int_0^\infty \left(1 - \exp \left[-z^2 \right]\right) d(1/z)</math>

Таким образом, для лоренцевского профиля <math>W</math> растёт пропорционально<math>\sqrt{\tau_0}</math>, а значит, <math>W \propto \sqrt{N}</math>[6][7].

Фойгтовский профиль

Линии поглощения в спектрах звёзд, как правило, описываются фойгтовским профилем, в котором лоренцевская ширина очень мала по сравнению с гауссовской. Это значит, что центральные части линий близки к гауссовским, а крылья — к лоренцевскимШаблон:Sfn.

Таким образом, при достаточно больших значениях <math>N</math> оптическая толщина в центре становится больше единицы, но крылья лоренцевского профиля ещё слишком слабы, и рост <math>W</math> происходит в основном за счёт областей, где профиль линии близок к гауссовскому — пропорционально <math>\sqrt{\ln N}</math>. При очень больших <math>N</math> дальние части крыльев линии, описываемые лоренцевским профилем, становятся достаточно сильными и <math>W</math> начинает расти приблизительно пропорционально <math>\sqrt{N}</math>[1][8]Шаблон:Sfn. Типичное значение оптической толщины в центре линии, при которой происходит переход от пологой части кривой роста к области радиационного затухания, составляет около Шаблон:E[7], хотя оно зависит от отношения лоренцевской и гауссовской ширины: чем больше лоренцевская ширина, тем при меньших <math>\tau_0</math> происходит переход[13].

Использование

Кривые роста можно рассчитать теоретически для заданной модели звёздной атмосферы — в общем случае для этого необходимо решать уравнение переноса излучения для заданных условий в атмосфере звезды, таких как температура, плотность вещества и других параметров в зависимости от глубины в атмосфере. Таким образом, сравнение теоретических кривых роста с наблюдаемыми позволяет измерять те параметры звёзд, от которых зависит кривая роста, а эквивалентные ширины линий позволяют определять содержание соответствующих химических элементов[1].

Для отдельно взятой звезды кривая роста определённой линии может быть построена по мультиплетам — наборам спектральных линий, которые соответствуют переходам с общего нижнего уровня. Число атомов <math>N</math> неизвестно для данной звезды, но для всех этих переходов заведомо одно и то же. Кроме того, обычно известны вероятности переходов, поэтому для мультиплета может быть выбрано подходящее семейство кривых роста и определено <math>N</math>Шаблон:Sfn.

Вид кривой роста зависит, к примеру, от температуры звезды и от скорости микротурбулентных движений газа в ней. Повышение температуры и увеличение скорости микротурбулентности увеличивают гауссовскую ширину линии, уменьшая при этом оптическую глубину в её центре — при этом эквивалентная ширина остаётся прежней, но насыщение линии и прекращение линейного роста наступает при большем <math>N</math> и при большей эквивалентной ширине[1][14]. Кроме того, микротурбулентность и температура по-разному влияют на кривую роста: при одной и той же температуре атомы разных масс имеют разные средние скорости, и гауссовская ширина линий таких атомов различается. Микротурбулентность же вызывает движение с одинаковыми скоростями — это позволяет разделять эффекты температуры и микротурбулентности[15].

История изучения

В 1931 году Марсел Миннарт впервые показал, как эквивалентная ширина линии поглощения зависит от числа атомов, её образующих. Другие учёные, среди которых были Дональд Мензел и Альбрехт Унзольд, впоследствии дорабатывали теорию кривой роста[16].

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Спектральные линии

Шаблон:Хорошая статья

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Шаблон:Cite web
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Шаблон:Cite web
  3. ↑ Шаблон:Cite web
  4. ↑ 4,0 4,1 Шаблон:Cite web
  5. ↑ Шаблон:Cite web
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 Шаблон:Cite web
  7. ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 Шаблон:Cite web
  8. ↑ 8,0 8,1 Книга:Физическая энциклопедия
  9. ↑ Шаблон:Cite web
  10. ↑ Книга:Физическая энциклопедия
  11. ↑ 11,0 11,1 Шаблон:Cite web
  12. ↑ 12,0 12,1 12,2 12,3 Шаблон:Cite web
  13. ↑ Шаблон:Cite web
  14. ↑ Шаблон:Cite web
  15. ↑ Шаблон:Cite web
  16. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Кривая_роста_(спектроскопия)&oldid=10196223