Русская Википедия:Криволинейная система координат
Криволине́йная систе́ма координа́т, или криволине́йные координа́ты, — система координат в евклидовом (аффинном) пространстве, или в области, содержащейся в нём. Криволинейные координаты не противопоставляются прямолинейным, последние являются частным случаем первых. Применяются обычно на плоскости (n=2) и в пространстве (n=3); число координат равно размерности пространства n. Наиболее известным примером криволинейной системы координат являются полярные координаты на плоскости.
Локальные свойства криволинейных координат
При рассмотрении криволинейных координат в данном разделе мы будем полагать, что рассматриваем трёхмерное пространство (n=3), снабженное декартовыми координатами x, y, z. Случай других размерностей отличается лишь количеством координат.
В случае евклидова пространства метрический тензор, именуемый также квадратом дифференциала дуги, будет в этих координатах иметь вид, соответствующий единичной матрице:
- <math>dS^2 = \mathbf{dx}^2 + \mathbf{dy}^2 + \mathbf{dz}^2.</math>
Общий случай
Пусть <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>q_3</math> — некие криволинейные координаты, которые мы будем считать заданными гладкими функциями от x, y, z. Для того, чтобы три функции <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>q_3</math> служили координатами в некоторой области пространства, необходимо существование обратного отображения:
- <math>\left\{\begin{matrix} x = \varphi_1\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right);\\ y= \varphi_2\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right); \\ z = \varphi_3\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right),\end{matrix}\right.</math>
где <math>\varphi_1,\; \varphi_2,\; \varphi_3</math> — функции, определённые в некоторой области наборов <math>\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right)</math> координат. Шаблон:Заготовка раздела
Локальный базис и тензорный анализ
В тензорном исчислении можно ввести векторы локального базиса: <math> \mathbf{R_j}=\frac{d\mathbf r}{dy^j}= \frac{dx^i}{dy^j} \mathbf e_i=Q^i_j \mathbf e_i </math> , где <math> \mathbf e_i </math> — орты декартовой системы координат, <math> Q^i_j </math> — матрица Якоби, <math> x^i </math> координаты в декартовой системе, <math> y^i </math> — вводимые криволинейные координаты.
Нетрудно видеть, что криволинейные координаты, вообще говоря, меняются от точки к точке.
Укажем формулы для связи криволинейных и декартовых координат:
<math> \mathbf R_i=Q^j_i \mathbf e_j </math>
<math> \mathbf e_i=P^j_i \mathbf R_j </math> где <math> P^j_i Q^i_j=E </math>, где Е — единичная матрица.
Произведение двух векторов локального базиса образует метрическую матрицу:
<math> \mathbf R_i \mathbf R_j = Q^n_i Q^m_j d_{nm} = g_{ij} </math>
<math> \mathbf R^i \mathbf R^j = P^i_n P^j_m d^{nm}=g^{ij} </math>
<math> g_{ij} g^{jk}=g^{jk} g_{ij} =d_i^k </math>, где <math> d_{ij}, d^{ij}, d^i_j </math> контравариантный, ковариантный и смешанный символ Кронекера
Таким образом любое поле тензора <math> \mathbf T </math> ранга n можно разложить по локальному полиадному базису:
<math> \mathbf T= T^{i_1 ... i_n} \mathbf e_i \otimes ... \otimes \mathbf e_n =T^{i_1 ...i_n} P^{j_1}_{i_1} ... P^{j_n}_{i_n} \mathbf R_{j_1} \otimes... \otimes \mathbf R_{j_n} </math>
Например, в случае поле тензора первого ранга (вектора) :
<math> \mathbf v=v^i \mathbf e_i=v^i P^j_i \mathbf R_j </math>
Ортогональные криволинейные координаты
В евклидовом пространстве особое значение имеет использование ортогональных криволинейных координат, поскольку формулы, имеющие отношение к длине и углам, выглядят в ортогональных координатах проще, нежели в общем случае. Что связано с тем, что метрическая матрица в системах с ортонормированным базисом будет диагональной, что существенно упростит расчёты.
В качестве примера таких систем можно привести сферическую систему в <math> \mathbb{R}^3 </math>
Коэффициенты Ламе
Выпишем дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):
- <math>dS^2 = \left( \frac{\partial \varphi_1}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 +
\left( \frac{\partial \varphi_2}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_3}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 , ~ i=1,2,3</math>
Принимая во внимание ортогональность систем координат (<math>\mathbf{dq}_i \cdot \mathbf{dq}_j = 0</math> при <math>i \ne j</math>) это выражение можно переписать в виде
- <math>dS^2 = H_1^2dq_1^2 + H_2^2dq_2^2 + H_3^2dq_3^2,</math>
где
- <math>H_i = \sqrt{\left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial \varphi_2}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial \varphi_3}{\partial q_i}\right)^2};\ i=1,\;2,\;3</math>
Положительные величины <math>H_i\ </math>, зависящие от точки пространства, именуются коэффициентами Ламе или масштабными коэффициентами. Коэффициенты Ламе показывают, сколько единиц длины содержится в единице координат данной точки и используются для преобразования векторов при переходе от одной системы координат к другой.
Тензор римановой метрики, записанный в координатах <math>{q_i}</math>, представляет из себя диагональную матрицу, на диагонали которой стоя́т квадраты коэффициентов Ламе:
| <math>g_{ii} = {H_i}^2</math> <math>g_{ij} = 0</math> для i≠j |
, то есть | <math>g_{ij} = \begin{pmatrix} {H_1}^2 & 0 & 0 \\ 0 & {H_2}^2 & 0 \\ 0 & 0 & {H_3}^2 \end{pmatrix}</math> |
Примеры
Полярные координаты (n=2)
Шаблон:Main Полярные координаты на плоскости включают расстояние r до полюса (начала координат) и направление (угол) φ.
Связь полярных координат с декартовыми:
- <math>\left\{\begin{matrix} x = r\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\varphi}.\end{matrix}\right.</math>
Коэффициенты Ламе:
- <math>\begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\varphi = r. \end{matrix}</math>
Дифференциал дуги:
- <math>dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\varphi^2.</math>
В начале координат функция φ не определена. Если координату φ считать не числом, а углом (точкой на единичной окружности), то полярные координаты образуют систему координат в области, полученной изо всей плоскости изъятием точки начала координат. Если всё-таки считать φ числом, то в обозначенной области оно будет многозначно, и построение строго в математическом смысле системы координат возможно лишь в односвязной области, не включающей начало координат, например, на плоскости без луча.
Цилиндрические координаты (n=3)
Шаблон:Main Цилиндрические координаты являются тривиальным обобщением полярных на случай трёхмерного пространства путём добавления третьей координаты z. Связь цилиндрических координат с декартовыми:
- <math>\begin{cases}
&x = r\cos{\varphi};\\
&y = r\sin{\varphi}; \\
&z = z.
\end{cases} </math> Коэффициенты Ламе:
- <math>\begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\varphi = r; \\ H_z = 1. \end{matrix}</math>
Дифференциал дуги:
- <math>dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\varphi^2 + dz^2.</math>
Сферические координаты (n=3)
Шаблон:Main Сферические координаты связаны с координатами широты и долготы на единичной сфере. Связь сферических координат с декартовыми:
- <math>\left\{\begin{matrix} x = r\sin{\theta}\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\theta}\sin{\varphi}; \\ z = r\cos{\theta}. \end{matrix}\right. </math>
Коэффициенты Ламе:
- <math>\begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\theta = r; \\ H_\varphi = r\sin{\theta}. \end{matrix}</math>
Дифференциал дуги:
- <math>dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\theta^2 + r^2\sin^2{\theta}d\varphi^2.</math>
Сферические координаты, как и цилиндрические, не работают на оси z {x=0, y=0}, поскольку координата φ там не определена.
Различные экзотические координаты на плоскости (n=2) и их обобщения
Ортогональные:
- Эллиптические координаты — расширяются до 3 измерений
- Параболические координаты — расширяются до 3 измерений
- Биполярные координаты — расширяются до 3 измерений
- …
Прочие:
Криволинейные координаты с точки зрения дифференциальной геометрии
Криволинейные координаты, определённые в различных областях евклидова (аффинного) пространства, можно рассматривать как применение к пространству понятия гладкого многообразия. А именно, как построение атласа карт. Шаблон:Заготовка раздела
Литература
Шаблон:Rq Шаблон:Системы координат
