Русская Википедия:Критерий Эйзенштейна

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Крите́рий Э́йзенштейна — признак неприводимости многочлена, названный в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием — но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического смысла слова «критерий» (см. ниже).

Формулировка

Пусть <math>a(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n</math> — многочлен над факториальным кольцом R (<math>n>0</math>), и для некоторого простого <math>p</math> выполняются следующие условия:

• <math>p\nmid a_n</math> (то есть <math>a_n</math> не делится на <math>p</math>),
• <math>p\mid a_i</math> для любого i от 0 до n-1,
• <math>p^2\nmid a_0</math>.

Тогда многочлен <math>a(x)</math> неприводим над F — полем частных кольца R.

Наиболее часто этот критерий применяется, когда R — кольцо целых чисел <math>\Z</math>, а F — поле рациональных чисел <math>\mathbb Q</math>.

Доказательство

Предположим обратное: <math>a(x)=f(x)g(x)</math>, где <math>f(x)=b_0+b_1x+...+b_kx^k</math> и <math>g(x)=c_0+c_1x+...+c_mx^m</math> многочлены над F ненулевых степеней. Из леммы Гаусса следует, что их можно рассматривать как многочлены над R. Имеем:

<math>a_0=b_0c_0</math>

По условию <math>p\mid a_0</math> и R факториально, поэтому либо <math>p\mid b_0</math> либо <math>p\mid c_0</math>, но не то и другое вместе ввиду того, что <math>p^2\nmid a_0</math>. Пусть <math>p\mid b_0</math> и <math>p\nmid c_0</math>. Все коэффициенты <math>f(x)</math> не могут делиться на <math>p</math>, так как иначе бы это было бы верно для <math>a(x)</math>. Пусть <math>i</math> — минимальный индекс, для которого <math>b_i</math> не делится на <math>p</math>. Отсюда следует:

<math>a_i=b_ic_0+b_{i-1}c_1+...</math>

Так как <math>p\mid a_i</math> и <math>p\mid b_j</math> для всех <math>j<i</math> то <math>p\mid b_ic_0</math>, но это невозможно, так как по условию <math>p\nmid c_0</math> и <math>p\nmid b_i</math>. Теорема доказана.

Примеры

• Многочлен <math>x^3+2</math> неприводим над <math>\mathbb Q.</math>
• Многочлен деления круга <math>f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...+1</math> неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен <math>f(x+1)=\frac {(x+1)^p - 1}{(x+1) - 1}=x^{p-1}+C_p^1x^{p-2}+...C_p^{p-1}</math>, а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на <math>p</math>, так как <math>p|C_p^k=\frac{p(p-1)...(p-k+1)}{k!}</math>, а последний коэффициент <math>C_p^{p-1}=p</math> к тому же не делится на <math>p^2,</math> то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.
• Многочлен <math>x^3+4</math> над <math>\mathbb Q</math> является примером, показывающим, что критерий Эйзенштейна («существует такое p, что …; тогда многочлен неприводим») является только достаточным, но не необходимым условием. Действительно, единственный простой делитель свободного члена это <math>p=2</math>, но 4 делится на <math>2^2</math> — поэтому критерий Эйзенштейна здесь неприменим. С другой стороны, как многочлен 3 степени без рациональных корней, этот многочлен неприводим.