Русская Википедия:Критерий устойчивости Рауса
Крите́рий усто́йчивости Ра́уса — один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса — Гурвица) является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости (в отличие от частотных критериев — таких, как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова). Предложен Э. Дж. Раусом в 1875 г.Шаблон:Sfn
Несмотря на то, что критерий Рауса исторически предложен ранее критерия Гурвица, его можно использовать как более удобную схему расчёта определителей Гурвица, особенно при больши́х степенях характеристического полиномаШаблон:Sfn.
К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ с помощью рекурсивного алгоритма, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности метода: при его применении сложно получить информацию о степени устойчивости, о её запасах.
Формулировка
Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть <math> W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)} </math> — передаточная функция системы, а <math> \ U(s) = 0</math> — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином <math> \ U(s) </math> в виде
- <math> \ U(s) = a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + ... + a_n</math>
Критерий Рауса представляет собой алгоритм, по которому составляется специальная таблица, в которую коэффициенты характеристического полинома записывают таким образом, что:
- в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания;
- во второй строке — с нечётными;
- остальные элементы таблицы определяются по формуле: <math> \ c_{k,i} = c_{k+1,i-2} - r_i \cdot c_{k+1,i-1} </math>, где <math> r_i = \frac{c_{1,i-2}} {c_{1,i-1}}, i \ge 3</math> — номер строки, <math> \ k </math> — номер столбца;
- число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.
Таблица Рауса:
<math> \ ri </math> | <math> \Downarrow i \Longrightarrow k </math> | 1 | 2 | 3 | 4 |
- | 1 | <math> \ c_{1,1} = a_0 </math> | <math> \ c_{2,1} = a_2 </math> | <math> \ c_{3,1} = a_4 </math> | ... |
- | 2 | <math> \ c_{1,2} = a_1 </math> | <math> \ c_{2,2} = a_3 </math> | <math> \ c_{3,2} = a_5 </math> | ... |
<math> r_3 = \frac{c_{1,1}} {c_{1,2}}</math> | 3 | <math> c_{1,3} = c_{2,1} - r_3 \cdot c_{2,2}</math> | <math> c_{2,3} = c_{3,1} - r_3 \cdot c_{3,2}</math> | <math> c_{3,3} = c_{4,1} - r_3 \cdot c_{4,2}</math> | ... |
<math> r_4 = \frac{c_{1,2}} {c_{1,3}}</math> | 4 | <math> c_{1,4} = c_{2,2} - r_4 \cdot c_{2,3}</math> | <math> c_{2,4} = c_{3,2} - r_4 \cdot c_{3,3}</math> | <math> c_{3,4} = c_{4,2} - r_4 \cdot c_{4,3}</math> | ... |
... | ... | ... | ... | ... | ... |
Формулировка критерия Рауса:
Шаблон:Начало цитаты
Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса <math> \ c_{1,1}, c_{1,2}, c_{1,3}, ... </math> были одного знака. Если это не выполняется, то система неустойчива.
Шаблон:Конец цитаты
См. также
- Критерий устойчивости Гурвица
- Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова
- Теорема Рауса — Гурвица
- Теорема Эрмита — Билера
- Маркеры устойчивости линейных динамических систем
Примечания
Литература