Русская Википедия:Критическая динамика
Критическая динамика — раздел теории критического поведения и статистической физики, описывающий динамические свойства физической системы в или вблизи критической точки. Является продолжением и обобщением критической статики, позволяя описывать величины и характеристики системы, которые нельзя выразить лишь через одновременны́е равновесные функции распределения. Такими величинами являются, например, коэффициенты переноса, скорости релаксации, разновременны́е корреляционные функции, функции отклика на зависящие от времени возмущения.
Как и вся статистическая физика, критическая динамика имеет дело с огромным или даже бесконечным количеством степеней свободы. Развитию таких систем во времени присущи различные стохастические (случайные) процессы: тепловое движение и соударение молекул в газовой системе, переориентация спинов решётки в твёрдом теле, возникновение и взаимодействие турбулентных вихрей в потоке жидкости. Постановка и решение подобных задач проводится с использованием формализма квантовой теории поля, создававшейся изначально для нужд физики высоких энергий и элементарных частиц. Стохастичность процессов моделируется путём введение в динамические уравнения дополнительного случайного члена — «шума» с известным (обычно Гауссовым) распределением.
Сокращённое описание системы
Постановка задач стохастической динамики
Обозначив за <math>x</math> совокупность пространственных координат и индексов системы, за <math>\phi(x)</math> весь набор полей в системе, можем записать стандартную постановку задачи стохастической динамики.
<math>\partial_t\phi(x) = U(x;\phi) + \eta(x), \ \ \ <\hat\eta(x)\hat\eta(x')> = D(x,x')</math>
U здесь — заданный t-локальный функционал, <math>\eta</math> — случайная внешняя сила, которая моделирует все быстро меняющиеся процессы в системе. Для неё предполагается Гауссово распределение с нулевым средним и заданным коррелятором D. Также выполняется условие запаздывания и некоторые граничные условия, которые обычно берут нулевыми при временах <math>t -> -\infty</math>
Это — наиболее общий вид уравнения эволюции в задачах стохастической динамики. Разумеется, не при любом выборе функционала U и коррелятора D оно будет иметь простое решение.
Приведём ниже несколько примеров задач стохастической динамики.
Броуновское движение
Запишем уравнения для Броуновского движения на языке стохастической динамики:
<math>\partial_tr_i(t) = \eta_i(t), \ \ \ <\hat\eta_i(t)\hat\eta_k(t')> = 2\alpha\delta_{ik}\delta(t-t')</math>
Здесь <math>\phi(x)\equiv r_i(t)</math>, U = 0, константа <math>\alpha</math> несёт смысл коэфф-та диффузии.
Уравнение Навье-Стокса
Динамическое уравнение Навье-Стокса также можно сформулировать на этом языке. Критическими задачами для уравнения будут задача описания турбулентности, в том числе развитой турбулентности (для систем с большими значениями чисел Рейнольдса), построения функции распределения вихрей по волновому вектору (в Фурье-представлении поля скорости) и проверки феноменологической теории Колмогорова.
<math>\partial_t\phi_i(x) = \nu\Delta\phi_i(x) - \partial_iP - \phi_j\partial_j\phi_i</math>
<math>\partial_i\phi_i = 0 \ \ </math> (условие поперечности)
Здесь <math>\phi</math> — несжимаемое векторное поле скорости, <math>\nu</math> — кинематическая вязкость, p — давление.
Задачи Ланжевеновского типа
В классе задач стохастической динамики традиционно выделяется более узкий класс задач критической динамики, в котором накладываются дополнительные условия на рассматриваемые поля и вид функционала U (t-локального функционала, стоящего в правой части динамического уравнения для полей). Во-первых, в качестве набора полей системы рассматривается набор полей, соответствующих т. н. мягким модам. Мягкой модой называют любую величину, крупномасштабные флуктуации которой медленно релаксируют, то есть в импульсном представлении скорость релаксации флуктуаций с заданным волновым вектором k стремится к нулю при <math>k -> 0</math>. Например, поле параметра порядка вблизи критической точки всегда само является мягкой модой. Во-вторых, функционал U будет являться вариационной производной от статического действия. Запишем соответствующую постановку задачи:
<math>\partial_t\phi_a = (\alpha_{ab} + \beta_{ab})\frac{\delta S^{st}(\phi)}{\delta\phi_b} + \eta_a, \ \ \ <\hat\eta_a(x)\hat\eta_b(x')> = 2\alpha_{ab}\delta(x-x')</math>
<math>\alpha_{ab}</math> здесь называется коэффициентом Онсагера, <math>\beta{ab}</math> — межмодовой связью.
Для них выполняются следующие условия:
<math>\alpha_{ab} = \alpha_{ba}</math>, то есть коэффициент Онсагера симметричен (это можно легко понять из того, что коррелятор возмущений случайных сил симметричен по определению)
<math>\beta_{ab} = -\beta_{ba}</math>
Обоснование свойств межмодовой связи проводится с помощью уравнения Фоккера-Планка.
Таким образом, постановке той или иной задачи критической динамики соответствует задание набора описывающих систему полей, коэффициента Онсагера и межмодовой связи. Ниже приводится список наиболее широко распространённых и изученных моделей.
Модели критической динамики
Следуя классической статье [Hohenberg, Halperin], приведём стандартный список моделей критической динамики. Все они соответствуют статической <math>O_n-\phi^4</math>-модели для поля параметра порядка, действие в этих моделям будет приведено явно.
Статическим действием <math>O_n-\phi^4</math>-модели для n-компонентного поля <math>\psi</math> является
<math>S^{st}(\psi) =-(\partial\psi)^2/2 - \tau\psi^2/2 - v_1(\psi^2)^2/24</math>
Модели A и B
A и B — релаксационные модели, то есть межмодовая связь (антисимметричная часть соответствующей матрицы) равняется нулю.
Модель A описывает анизотропный ферромагнетик с однокомпонентным несохраняющимся полем параметра порядка, за которое в физической системе рассматривается проекция намагниченности на одну из осей координат;
Модель B описывает одноосный ферромагнетик с однокомпонентным сохраняющимся полем параметра порядка, за которое в физической системе выступает проекция намагниченности на одну из осей координат.
Модель A:
<math>\phi = \{\psi\}, S^{st}(\psi), \alpha_\psi = \lambda_\psi</math>,
где <math>\lambda_a \equiv const > 0 \ \ \forall a</math>
Модель B:
<math>\phi = \{\psi\}, S^{st}(\psi), \alpha_\psi = -\lambda_\psi\cdot\partial^2</math>
С точки зрения формальной постановки модели A и B отличаются, таким образом, лишь сохранением поля параметра порядка.
Модели C и D
Модели C и D также являются чисто релаксационными. Они являются обобщениями моделей A и B на случай сохранения энергии; в них вводится дополнительное сохраняющееся скалярное поле <math>m(x) = <\hat E(x)> </math>, описывающее флуктуации температуры.
Модель C:
<math>\phi = \{\psi, m\}</math>, где m -- добавочное сохраняющееся однокомпонентное поле
<math>S^{st}(\phi) = S^{st}(\psi) - m^2/2 - v_2m\psi^2/2</math>
<math>\alpha_\psi = \lambda_\psi; \ \ \ \alpha_m = -\lambda_m\cdot\partial^2</math>
Модель D:
<math>\phi = \{\psi, m\}</math>, где m -- добавочное сохраняющееся однокомпонентное поле
<math> S^{st}(\phi) = S^{st}(\psi) - m^2/2 - v_2m\psi^2/2</math>
<math>\alpha_\psi = -\lambda_\psi\cdot\partial^2; \ \ \ \alpha_m = -\lambda_m\cdot\partial^2</math>
Вновь, с точки зрения формальной постановки модели C и D отличаются лишь сохранением поля параметра порядка.
Литература
- Шаблон:Книга
- Hohenberg P. C. Halperin B. I. Theory of dynamic critical phenomena, Rev. Mod. Phys, Vol. 49, № 3, July 1977, pp 435—475
Примечания
Ссылки
