Русская Википедия:Круговое поле

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле <math>K_n = \mathbb {Q}(u)</math>, порождённое присоединением к полю рациональных чисел <math>\mathbb {Q}</math> первообразного корня n-й степени из единицы <math>u</math>. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.

Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: <math>K_3</math> состоит из комплексных чисел вида <math>a+b \sqrt{3}\ i</math>, где <math>a, b</math> — рациональные числа.

Свойства

• Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
  • Следствие: круговое поле является полем разложения многочлена <math>x^n-1</math>.
• <math>K_{4n+2} = K_{2n+1}</math>, поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 <math>(n \not \equiv 2 \pmod{4})</math>. При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
• Поле <math>K_n</math> является абелевым расширением поля <math>{\mathbb Q}</math> с группой Галуа <math>G (K_n / {\mathbb Q}) \simeq (\Z/n\Z)^*,</math>

где <math>(\Z/n\Z)^*</math> — мультипликативная группа классов вычетов по модулю n. Степень расширения <math>[K_n : {\mathbb Q}]</math> равна φ(n) (функция Эйлера).

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

См. также

• Круговой многочлен

Литература

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.

Ссылки

• Шаблон:Cite web