Русская Википедия:Кружевное зацепление
В теории узлов кружевное зацепление (или крендельное зацепление) — это специальный вид зацепления. Кружевное зацепление, являющееся также узлом (то есть зацеплением с одной компонентой), называется кружевным узлом, крендельным узлом или просто кренделем.
В стандартной проекции кружевное зацепление <math>(p_1,\,p_2,\dots,\,p_n)</math>[1] имеет <math>p_1</math> левосторонних скруток в первом Шаблон:Не переведено 5[2], <math>p_2</math> во втором и, в общем случае, <math>p_n</math> в n-ом.
Кружевное зацепление можно описать как Шаблон:Не переведено 5 с целым числом переплетений.
Некоторые базовые результаты
Кружевное зацепление <math>(p_1,p_2,\dots,p_n)</math> является узлом тогда и только тогда, когда и <math>n</math>, и все <math>p_i</math> являются нечётными или в точности одно из чисел <math>p_i</math> чётно Шаблон:Sfn.
Кружевное зацепление <math>(p_1,\,p_2,\dots,\,p_n)</math> является Шаблон:Не переведено 5, если по меньшей мере два <math>p_i</math> равны нулю. Однако обратное неверно.
Кружевное зацепление <math>(-p_1,-p_2,\dots,-p_n)</math> является отражением кружевного зацепления <math>(p_1,\,p_2,\dots,\,p_n)</math>.
Кружевное зацепление <math>(p_1,\,p_2,\dots,\,p_n)</math> эквивалентно (то есть гомотопически эквивалентно на S3) кружевному зацеплению <math>(p_2,\,p_3,\dots,\,p_n,\,p_1)</math>. Тогда, также, кружевное зацепление <math>(p_1,\,p_2,\dots,\,p_n)</math> эквивалентно кружевному зацеплению <math>(p_k,\,p_{k+1},\dots,\,p_n,\,p_1,\,p_2,\dots,\,p_{k-1})</math>Шаблон:Sfn.
Кружевное зацепление <math>(p_1,\,p_2,\,\dots,\,p_n)</math> эквивалентно кружевному зацеплению <math>(p_n,\,p_{n-1},\dots,\,p_2,\,p_1)</math>. Однако если ориентировать зацепление в каноническом виде, эти два зацепления имеют противоположную ориентацию.
Примеры
Кружевной узел (1, 1, 1) — это (правосторонний) трилистник, а узел (−1, −1, −1) является его зеркальным отражением.
узел
Кружевной узел (5, −1, −1) — это стивидорный узел (61).
Если p, q и r являются различными нечётными числами, большими 1, то кружевной узел (p, q, r) является необратимым.
Кружевное зацепление (2p, 2q, 2r) — это зацепление, образованное тремя связанными тривиальными узлами.
Кружевной узел (−3, 0, −3) (прямой узел) является связной суммой двух трилистников.
Кружевное зацепление (0, q, 0)) — это Шаблон:Не переведено 5 тривиального узла с другим узлом.
Зацепление Монтесиноса
Зацепление Монтесиноса — это специальный вид зацепления, обобщающее кружевные зацепления (кружевное зацепление можно считать зацеплением Монтесиноса с целыми переплетениями). Зацепление Монтесиноса, являющееся также узлом (то есть, зацепление с однлй компонентой) является узлом Монтесиноса.
Зацепление Монтесиноса состоит из нескольких Шаблон:Не переведено 5. Одним из обозначений зацепления Монтесиноса является <math>K(e;\alpha_1 /\beta_1,\alpha_2 /\beta_2,\ldots,\alpha_n /\beta_n)</math> Шаблон:Sfn.
В этих обозначениях <math>e</math> и все <math>\alpha_i</math> и <math>\beta_i</math> являются целыми числами. Зацепление Монтесиноса, заданное таким обозначением, состоит из Шаблон:Не переведено 5 рациональных плетений, заданных целым числом <math>e</math>, и рациональных плетений <math>\alpha_1 /\beta_1,\alpha_2 /\beta_2,\ldots,\alpha_n /\beta_n</math>
Использование
Кружевные зацепления (−2, 3, 2n + 1) особенно полезны при изучении 3-многообразий. В частности, для этих многообразий многие результаты были установлены на основе Шаблон:Не переведено 5 на Шаблон:Не переведено 5.
Гиперболический объём дополнения кружевного зацепления Шаблон:Math равен учетверённой постоянной Каталана, примерно Шаблон:Num. Это кружевное зацепление является одним из двух гиперболических многообразий с двумя каспами с минимальными возможными объёмами, второе многообразие является дополнением зацепления УайтхедаШаблон:Ref.
Примечания
Литература
Литература для дальнейшего чтения
- ↑ Использована нотация Конвея для узлов с добавлением скобок для удобства.
- ↑ Вместо «плетение» также говорят «тангл» или «связка».
