Русская Википедия:Кубическая функция
Куби́ческая фу́нкция в математике — это числовая функция <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> вида
- <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\quad x \in \mathbb{R},</math>
где <math>a \neq 0.</math> Другими словами, кубическая функция задаётся многочленом третьей степени.
Аналитические свойства
Производная кубической функции <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> имеет вид <math>f'(x)=3ax^2+2bx+c</math>. В случае, когда дискриминант <math>\frac{D}{4}=b^2-3ac</math> полученного квадратного уравнения <math>f'(x)=0</math> больше нуля, оно имеет два различных решения, которые соответствуют критическим точкам функции <math>f</math>. При этом, одна из этих точек является точкой локального минимума, а другая точкой локального максимума. Равенство нулю второй производной <math>f</math> определяет точку перегиба <math>x=-b/3a</math>.
График
График кубической функции называется куби́ческой пара́болой. В литературе часто встречаются альтернативные определения кубической параболы как графика функции <math>y=a x^3</math> или <math>y=x^3</math>. Легко видеть, что, применяя параллельный перенос, можно привести кубическую параболу к виду, когда она будет задаваться уравнением <math>y = a x^3 - p x</math>. Путём применения аффинных преобразований плоскости можно добиться, чтобы <math>a = 1</math> и <math>p=0</math>. В этом смысле все определения будут эквивалентны.
Кроме того, кубическая парабола
- центрально-симметрична относительно точки перегиба,
- всегда пересекает линию абсцисс хотя бы в одной точке,
- не имеет общих точек со своей касательной в точке перегиба, кроме как в самой точке касания.
| Файл:Cubic function (different a).svg | Файл:Cubic function (different b).svg | Файл:Cubic function (different c).svg |
| Коэффициент при кубе | Коэффициент при квадрате | Коэффициент при первой степени |
Коллинеарность
Касающиеся прямые в трёх коллинеарных точках графика кубической функции пересекают график снова в коллинеарных точках.[1]
Применение
Кубическую параболу иногда применяют для расчёта переходной кривой на транспорте, так как её вычисление намного проще, чем построение клотоиды.
См. также
Примечания
Литература
- Л. С. Понтрягин, Кубическая парабола // «Квант», 1984, № 3.
- И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев, «Справочник по математике», издательство «Наука», М. 1967, с. 84
- ↑ Whitworth, William Allen. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books Шаблон:Wayback
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}