Русская Википедия:Кубооктаэдр
Кубоокта́эдрШаблон:SfnШаблон:Sfn или кубокта́эдрШаблон:Sfn — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 квадратов.
В каждой из его 12 одинаковых вершин сходятся две квадратных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен <math>\arccos\left(-\frac{7}{9}\right) \approx 0{,}78\pi.</math>
Кубооктаэдр имеет 24 ребра равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен <math>\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right) \approx 125{,}26^\circ.</math>
Кубооктаэдр можно получить из куба, «срезав» с него 8 правильных треугольных пирамид; либо из октаэдра, «срезав» с него 6 квадратных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.
В координатах
Кубооктаэдр с длиной ребра <math>\sqrt2</math> можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел <math>(0;\;\pm1;\;\pm1).</math>
Начало координат <math>(0;\;0;\;0)</math> будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.
Метрические характеристики
Если кубооктаэдр имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как
- <math>S = \left(6+2\sqrt3\right)a^2 \approx 9{,}4641016a^2,</math>
- <math>V = \frac{5\sqrt2}{3}\;a^3 \approx 2{,}3570226a^3.</math>
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
- <math>R = a = 1{,}0000000a,</math>
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- <math>\rho = \frac{\sqrt3}{2}\;a \approx 0{,}8660254a.</math>
Вписать в кубооктаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри кубооктаэдра с ребром <math>a</math> (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен
- <math>r_4 = \frac{\sqrt2}{2}\;a \approx 0{,}7071068a.</math>
Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит <math>r_4</math> и равно
- <math>r_3 = \frac{\sqrt6}{3}\;a \approx 0{,}8164966a.</math>
Звёздчатые формы
Кубооктаэдр образует звёздчатые формы:
-
Исходный многогранник
-
Первая звёздчатая форма
-
Вторая звёздчатая форма
-
Третья звёздчатая форма
-
Четвёртая звёздчатая форма
Заполнение пространства
Одними только кубооктаэдрами замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений нельзя, но это можно сделать с помощью кубооктаэдров вместе с другими многогранниками:
-
Кубооктаэдры и октаэдры
-
Ромбокубоктаэдры, кубооктаэдры и кубы
-
Усечённые октаэдры, усечённые тетраэдры и кубооктаэдры
-
Растянутые ромбододекаэдры, кубооктаэдры, октаэдры и треугольные призмы
В природе и культуре
Одним из символов компьютерной игры Elite стала космическая станция в форме кубооктаэдра с люком на квадратной грани[1]. Впоследствии её внесли и в Elite: Dangerous[2].
-
Вариант кубика Рубика
-
Примечания
Литература
Ссылки
- ↑ Coriolis Station (Classic) в энциклопедии Elite Wiki (Шаблон:Wayback)
- ↑ Coriolis в энциклопедии Elite Dangerous Wiki (Шаблон:Wayback)
