Русская Википедия:Курносый двадцатичетырёхъячейник
| Курносый двадцатичетырёхъячейник | |
|---|---|
| Файл:Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png Ортогональная проекция в трёхмерное пространство — на гиперплоскость, проходящую через икосаэдрическую ячейку | |
| Тип | Шаблон:Iw |
| Символ Шлефли | s{3,4,3} sr{3,3,4} s{31,1,1} |
| Ячеек | 144 |
| Граней | 480 |
| Рёбер | 432 |
| Вершин | 96 |
| Вершинная фигура | Трижды отсечённый икосаэдр |
Курно́сый двадцатичетырёхъяче́йник — четырёхмерный многогранник, один из 47 непризматических выпуклых Шаблон:Iw и один из 3 Шаблон:Iw (так как составлен из двух разных видов платоновых тел).
Впервые описан в статье 1900 года Шаблон:Iw[1], который назвал многоячейник тетрикосаэдриком (Шаблон:Lang-en2), поскольку его ячейки — тетраэдры и икосаэдры. Также известен как курносый икоситетрахор, полукурносый полиоктаэдр (Шаблон:Lang-en)[2].
Описание
Ограничен 144 трёхмерными ячейками — 120 правильными тетраэдрами и 24 правильными икосаэдрами. Каждая икосаэдрическая ячейка окружена восемью икосаэдрическими и двенадцатью тетраэдрическими. Тетраэдрические ячейки делятся на две группы: 24 из них окружены четырьмя тетраэдрическими, остальные 96 — тремя икосаэдрическими и тетраэдрической.
Его 480 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. 96 граней разделяют две икосаэдрических ячейки, 96 граней — две тетраэдрических, остальные 288 — икосаэдрическую и тетраэдрическую.
Имеет 432 ребра равной длины. На 288 рёбрах сходятся по три грани и по три ячейки (две икосаэдрических и тетраэдрическая), на остальных 144 — по четыре грани и по четыре ячейки (икосаэдрическая и три тетраэдрических).
Имеет 96 вершин. В каждой вершине сходятся по 9 рёбер, по 15 граней и по 8 ячеек (три икосаэдрических и пять тетраэдрических).
Курносый двадцатичетырёхъячейник можно получить из шестисотячейника, отсекши от того 24 икосаэдрических пирамиды — так, чтобы вместо них остались только их основания. Вершины полученного многоячейника — 96 из 120 вершин шестисотячейника (а удалённые 24 вершины образуют вершины обычного двадцатичетырёхъячейника); рёбра — 432 из 720 рёбер шестисотячейника; грани — 480 из 1200 граней шестисотячейника. Отсюда ясно, что у курносого двадцатичетырёхъячейника тоже существуют описанная и обе полувписанных трёхмерных гиперсферы, причём они совпадают с описанной и полувписанными гиперсферами исходного шестисотячейника.
В координатах
Курносый двадцатичетырёхъячейник с длиной ребра <math>2</math> можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными чётными перестановками наборов чисел <math>\left(0;\;\pm1;\;\pm\Phi;\;\pm\Phi^2\right),</math> где <math>\Phi = \frac{1+\sqrt5}{2}</math> — отношение золотого сечения.
Начало координат <math>\left(0;\;0;\;0;\;0\right)</math> будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его описанной и полувписанных гиперсфер.
Ортогональные проекции на плоскость
Метрические характеристики
Если курносый двадцатичетырёхъячейник имеет ребро длины <math>a,</math> то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
- <math>V_4 = 5\left(\frac{9}{4}+\sqrt5\right)a^4 \approx 22{,}4303399a^4,</math>
- <math>S_3 = 10\left(3+\sqrt2+\sqrt5\right)a^3 \approx 66{,}5028154a^3.</math>
Радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен
- <math>R = \Phi a = \frac{1}{2}\left(1+\sqrt5\right)a \approx 1{,}6180340a,</math>
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- <math>\rho_1 = \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt5}\;a \approx 1{,}5388418a,</math>
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
- <math>\rho_2 = \frac{1}{6}\left(\sqrt{15}+3\sqrt3\right)a \approx 1{,}5115226a.</math>
Вписать в курносый двадцатичетырёхъячейник гиперсферу — так, чтобы она касалась всех ячеек, — невозможно. Радиус наибольшей гиперсферы, которую можно поместить внутри курносого двадцатичетырёхъячейника с ребром <math>a</math> (она будет касаться только всех икосаэдрических ячеек в их центрах), равен
- <math>r_I = \frac{1}{4}\left(3+\sqrt5\right)a \approx 1{,}3090170a.</math>
Расстояние от центра многоячейника до любой тетраэдрической ячейки превосходит <math>r_I</math> и равно
- <math>r_T = \frac{1}{4}\left(\sqrt{10}+2\sqrt2\right)a \approx 1{,}4976762a.</math>
Заполнение пространства
С помощью курносых двадцатичетырёхъячейников, шестнадцатиячейников и пятиячейников можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. статью в английской Википедии). Данное заполнение также было найдено Торольдом Госсетом.
Примечания
Ссылки
- George Olshevsky. Print #11: Snub icositetrachoron net
- ↑ Thorold Gosset. On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions. — Messenger of Mathematics, vol. 29. — Macmillan, 1900. — pp. 43—48.
- ↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — 2008, Шаблон:Isbn. — p. 401.
