Русская Википедия:Курносый куб
Шаблон:Многогранник Курно́сый кубШаблон:Sfn, или плосконо́сый кубШаблон:SfnШаблон:Sfn, — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 38 гранями, составленный из 6 квадратов и 32 правильных треугольников. В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань и четыре треугольных. Треугольные грани делятся на две группы: 8 из них окружены только другими треугольными, остальные 24 — квадратной и двумя треугольными.
Имеет 60 рёбер равной длины.
Название «курносый куб» (Шаблон:Lang-lat) дал этому многограннику Иоганн Кеплер в трактате 1619 года «Гармония мира». Гарольд Коксетер, отметив, что многогранник родствен октаэдру в той же мере, что и кубу, предлагал называть его «курносым кубооктаэдром».
В отличие от большинства других архимедовых тел, курносый куб (наряду с курносым додекаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».
Метрические характеристики и углы
При определении метрических свойств курносого куба приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных архимедовых тел и для платоновых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому курносый куб, в отличие от платоновых и ахиральных архимедовых тел, не допускает евклидова построения[1]. То же верно и для курносого додекаэдра, а также для двойственных им каталановых тел.
При описании метрических свойств и углов курносого куба важную роль играет константа трибоначчи:
- <math>t = \frac{1}{3}\left(1+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right) \approx 1{,}8392868.</math>.
Если курносый куб имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как
- <math>S = \left(6+8\sqrt{3}\right)a^2 \approx 19{,}8564065a^2,</math>
- <math>V = \sqrt{\frac{613t+203}{9(35t-62)}}\;a^3 \approx 7{,}8894774a^3.</math>
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
- <math>R = \sqrt{\frac{3-t}{4(2-t)}}\;a \approx 1{,}3437134a;</math>
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- <math>\rho = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4(2-t)}}\;a \approx 1{,}2472232a.</math>
Вписать в курносый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри курносого куба с ребром <math>a</math> (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен
- <math>r_4 = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{t-1}{4(2-t)}}\;a \approx 1{,}1426135a.</math>
Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит <math>r_4</math> и равно
- <math>r_3 = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{t+1}{12(2-t)}}\;a \approx 1{,}2133558a.</math>
Двугранные углы между двумя смежными треугольными гранями курносого куба равны <math>\alpha_{33} = \arccos \, \frac{1-2t}{3} \approx 153{,}23^\circ,</math> между смежными квадратной и треугольной гранями <math>\alpha_{43} = \arccos\left(-\sqrt{1-\frac{2}{3t}}\right) \approx 142{,}98^\circ.</math>
Телесный угол при вершине равен <math>3\alpha_{33}+2\alpha_{43}-3\pi \approx 1{,}14\pi.</math>
В координатах
«Левый» курносый куб можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы координаты 12 его вершин были всевозможными чётными перестановками тех троек чисел <math>(\pm t;\pm1;\pm t^{-1}),</math> среди которых чётное число отрицательных, а координаты остальных 12 вершин — всевозможными нечётными перестановками тех троек, среди которых нечётное число отрицательных.
Если поступить наоборот — взять чётные перестановки троек с нечётным числом минусов и нечётные перестановки троек с чётным числом минусов — получим «правый» вариант курносого куба.
Начало координат <math>(0;0;0)</math> в обоих случаях будет центром описанной и полувписанной сфер многогранника.
Примечания
Ссылки
Литература
- ↑ У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 153.
