Русская Википедия:Кусочно-линейная функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Кусо́чно-лине́йная фу́нкция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, линейная на каждом из интервалов, составляющих область определения.

Формальное определение и задание

Пусть заданы <math>x_1<x_2<\ldots<x_n</math> — точки смены формул.

Как и все кусочно-заданные функции, кусочно-линейную функцию обычно задают на каждом из интервалов <math>(-\infty; x_1), (x_1; x_2); \ldots (x_n;+\infty)</math> отдельной формулой. Записывают это в виде: <math> f(x)= \begin{cases}

 k_0 x+b_0,\quad x<x_1\\
 k_1 x+b_1,\quad x_1<x<x_2\\
 \cdots\\
 k_n x+b_n,\quad x_n<x

\end{cases} </math>

Если к тому же выполнены условия согласования

<math>k_ix_i+b_i=k_{i+1}x_i+b_{i+1}=f(x_i)</math> при <math>i=1,2,\ldots,n-1</math>,

то кусочно-линейная функция будет непрерывной. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.

Альтернативное задание

Можно доказать, что любую непрерывную кусочно-линейную функцию можно задать некоторой формулой вида

<math>f(x)=a x+ b + c_1|x-x_1| + c_2|x-x_2| + \ldots +c_n|x-x_n|</math>.

При этом все коэффициенты, кроме b, можно выразить через угловые коэффициенты наклона прямых на отдельных интервалах:

<math>c_i=\frac{k_i-k_{i-1}}{2}</math>, при <math>i=1,2,\ldots,n</math>

<math>a=\frac{k_0+k_n}{2}</math>

Свойства

• Любую непрерывную функцию можно аппроксимировать сколь угодно близко кусочно-линейной функцией (в непрерывной метрике).

Пример кусочно-линейной функции

Файл:Piecewise linear function.svg

График кусочно линейной функции

График функции на рисунке аналитически задан в виде:

<math>f(x) =

\begin{cases}

-x - 3     & \text{если}\ x \leq -3 \\
x + 3      & \text{если}\ -3 < x < 0 \\
-2x + 3    & \text{если}\ 0 \leq x < 3 \\
0,5x - 4   & \text{если}\ x \geq 3

\end{cases}</math>

Источники

• Книга:Факультативный курс по математике. Никольская
• Кусочно-линейная функция // Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело. Л. И. Лопатников. 2003.

Ссылки

• Задачи по теме: Кусочно-линейные функции.