Русская Википедия:Кэлерово многообразие
Кэлерово многообразие — многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой метрикой и симплектической формой.
Названы в честь немецкого математика Эриха Келера.
Определения
Как симплектическое многообразие: кэлерово многообразие — симплектическое многообразие <math> (K,\omega) </math> с интегрируемой почти комплексной структурой, которая согласуется с симплектической формой.
Как комплексное многообразие: кэлерово многообразие представляет собой Шаблон:Iw с замкнутой эрмитовой формой. Такая эрмитова форма называется кэлеровой.
Связь между определениями
Пусть <math> h </math> — эрмитова форма, <math> \omega </math> — симплектическая форма и <math> J </math> — почти комплексная структура. Согласуемость <math> \omega </math> и <math> J </math> означает, что форма:
- <math> g(u,v) = \omega(u,Jv) </math>
является римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством:
- <math>h=g - i\omega.</math>
Кэлеров потенциал
На комплексном многообразии <math> K </math> каждая Шаблон:Iw <math> \rho \in C^\infty(K; \mathbb R)</math> порождает кэлерову форму
- <math> \omega = \frac i2 \partial \bar\partial \rho.</math>
При этом функция <math> \rho </math> называется кэлеровым потенциалом формы <math> \omega</math>.
Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки <math> p </math> кэлерова многообразия <math> (K,\omega) </math> существует окрестность <math> U\ni p </math> и функция <math> \rho \in C^\infty(U,\mathbb R) </math> такая, что
- <math> \omega\vert_U = i \partial \bar\partial \rho </math>.
При этом <math> \rho </math> называется локальным Кэлеровым потенциалом формы <math> \omega</math>.
Примеры
- Комплексное евклидово пространство <math>\mathbb{C}^n</math> со стандартной эрмитовой формой.
- Каждая риманова метрика на ориентируемой поверхности определяет кэлерово многообразие, поскольку замкнутость <math>\omega</math> тривиальна в вещественной размерности два.
- Комплексное проективное пространство <math>\mathbb{C}\mathrm{P}^n</math> с метрикой Фубини — Штуди.
- Индуцированная метрика на комплексное подмногообразии в кэлеровом многообразии.
- В частности, любое Шаблон:Iw и любое проективное алгебраическое многообразие.
- По теореме Кодайры о вложении кэлерово многообразие, допускающее положительное расслоение со слоем прямая, вкладывается в проективное пространство.
- K3-поверхности
- Важным подклассом кэлеровых многообразий являются многообразия Калаби — Яу.
См. также
Литература
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
