Русская Википедия:Кэлеров дифференциал
Кэлеровы дифференциалы представляют собой адаптацию дифференциальных форм для произвольных коммутативных колец или схем. Это понятие было введено Эрихом Келером в 1930-х.
Определение
Пусть <math>R</math> и <math>S</math> — коммутативные кольца и <math>\varphi: R\to S</math> — гомоморфизм колец. Важный пример — это когда <math>R</math> является полем, а <math>S</math> — унитальной алгеброй над <math>R</math> (такой, как координатное кольцо аффинного многообразия). Кэлеровы дифференциалы формализуют то наблюдение, что производная многочлена снова является многочленом. В этом смысле понятие дифференцирования может быть выражено чисто алгебраически. Это наблюдение можно превратить в определение модуля дифференциалов
- <math>\Omega_{S/R}.</math>
несколькими эквивалентными способами.
Определение при помощи дифференцирований
<math>R</math>-линейное дифференцирование алгебры <math>S</math> — это гомоморфизм <math>R</math>-модулей <math>d \colon S \to M</math> в <math>S</math>-модуль <math>M</math>, содержащий образ <math>R</math> в своём ядре и удовлетворяющий правилу Лейбница <math>d(fg) = f\,dg + g\,df</math>. Модуль кэлеровых дифференциалов определяется как <math>S</math>-модуль <math>\Omega_{S/R}</math>, для которого существует универсальное дифференцирование <math>d \colon S \to \Omega_{S/R}</math>. Как и с другими универсальными свойствами, это значит, что Шаблон:Math — это наилучшее возможное дифференцирование, в том смысле, что любое другое дифференцирование может быть получено из него при помощи композиции с гомоморфизмом <math>S</math>-модулей. Другими словами, композиция с Шаблон:Math индуцирует, для любого <math>S</math>-модуля Шаблон:Math, изоморфизм <math>S</math>-модулей
- <math>\operatorname{Hom}_S(\Omega_{S/R},M) \xrightarrow{\cong} \operatorname{Der}_R(S,M).</math>
Конструкцию Шаблон:Math и Шаблон:Math можно произвести путём построения свободного <math>S</math>-модуля с одной образующей Шаблон:Math для каждого <math>s</math> из <math>S</math> и факторизации по соотношениям
для всех <math>r</math> из <math>R</math> и всех <math>s</math> и <math>t</math> из <math>S</math>. Универсальное дифференцирование переводит <math>s</math> в <math>ds</math>. Из соотношений следует, что универсальное дифференцирование является гомоморфизмом <math>R</math>-модулей.
Определение при помощи аугментационного идеала
Другая конструкция производится путём рассмотрения идеала <math>I</math> в тензорном произведении <math>S \otimes_R S</math>, определяемого как ядро отображения умножения <math>S \otimes_R S\to S, \Sigma s_i \otimes t_i \mapsto \Sigma s_i\cdot t_i</math>. Тогда модулю кэлеровых дифференциалов может быть определён какШаблон:Sfn Шаблон:Math, а универсальное дифференцирование — как гомоморфизм Шаблон:Math, определяемый формулой
- <math>ds = 1 \otimes s - s \otimes 1.</math>
Чтобы увидеть, что эта конструкция эквивалентна предыдущей, заметим, что Шаблон:Math является ядром проекции <math>S \otimes_R S\to S \otimes_R R</math>, задаваемой формулой <math>\Sigma s_i \otimes t_i \mapsto \Sigma s_i \cdot t_i \otimes 1</math>. Поэтому мы имеем:
- <math>S \otimes_R S \equiv I \oplus S \otimes_R R.</math>
Тогда <math>S \otimes_R S / S \otimes_R R</math> может быть отождествлено с Шаблон:Math путём отображения, индуцируемого дополнительной проекцией <math>\Sigma s_i \otimes t_i \mapsto \Sigma s_i \otimes t_i - \Sigma s_i\cdot t_i \otimes 1</math>. Это отождествляет <math>I</math> с <math>S</math>-модулем, порождённым формальными образующими <math>ds</math> для <math>s</math> из <math>S</math>, причём <math>d</math> является гомоморфизмом <math>R</math>-модулей, переводящим любой элемент <math>R</math> в ноль. Факторизация по <math>I^2</math> в точности накладывает правило Лейбница.
Примеры и базовые свойства
Для любого коммутативного кольца Шаблон:Math, кэлеровы дифференциалы кольца многочленов <math>S=R[t_1, \dots, t_n]</math> образуют свободный Шаблон:Math-модуль ранга n, порождённый дифференциалами переменных:
- <math>\Omega^1_{R[t_1, \dots, t_n]/R} = \bigoplus_{i=1}^n R[t_1, \dots t_n] \, dt_i.</math>
Кэлеровы дифференциалы согласуются с расширением скаляров, в том смысле, что для второй Шаблон:Math-алгебры Шаблон:Math и для <math>S' = R' \otimes_R S</math> существует изоморфизм
- <math>\Omega_{S/R} \otimes_S S' \cong \Omega_{S'/R'}.</math>
В частности, кэлеровы дифференциалы согласуются с локализациями, в том смысле, что если Шаблон:Math — это мультипликативное подмножество Шаблон:Math, то существует изоморфизм
- <math>W^{-1}\Omega_{S/R} \cong \Omega_{W^{-1}S/R}.</math>
Если даны два гомоморфизма <math>R \to S \to T</math>, то существует короткая точная последовательность Шаблон:Math-модулей
- <math>\Omega_{S/R} \otimes_S T \to \Omega_{T/R} \to \Omega_{T/S} \to 0.</math>
Если <math>T=S/I</math> для некоторого идеала Шаблон:Math, то член <math>\Omega_{T/S}</math> зануляется и последовательность продолжается влево следующим образом:
- <math>I/I^2 \xrightarrow{[f] \mapsto df \otimes 1} \Omega_{S/R} \otimes_S T \to \Omega_{T/R} \to 0.</math>
Кэлеровы дифференциалы для схем
Так как кэлеровы дифференциалы согласованы с локализацией, их можно построить на общей схеме, применяя любое из приведённых выше определений для аффинных схем и склеивая. Однако второе определение имеет геометрическую интерпретацию, которая глобализуется немедленно. В этой интерпретации Шаблон:Math представляет идеал, задающий диагональ в расслоенном произведении Шаблон:Math на себя над Шаблон:Math. Эта конструкция более геометрична, в том смысле, что она отражает понятие первой инфинитезимальной окрестности диагонали, при помощи зануляющихся на ней функций по модулю функций, зануляющихся во втором порядке. Более того, это можно обобщить на произвольный морфизм схем <math>f \colon X \to Y</math>, определяя <math>\mathcal{I}</math> как идеал диагонали в расслоенном произведении <math>X \times_Y X</math>. Кокасательный пучок <math>\Omega_{X/Y} = \mathcal{I} / \mathcal{I}^2</math>, вместе с дифференцированием <math>d \colon \mathcal{O}_X \to \Omega_{X/Y}</math>, определяющимся аналогично предыдущему, является универсальным среди <math>f^{-1}\mathcal{O}_Y</math>-линейных дифференцирований <math>\mathcal{O}_X</math>-модулей. Если Шаблон:Math — открытая аффинная подсхема Шаблон:Math, образ которой в Шаблон:Math содержится в открытой аффинной подсхеме Шаблон:Math, то кокасательный пучок ограничивается на пучок на Шаблон:Math, который также универсален. Следовательно, это пучок, ассоциированный с модулем кэлеровых дифференциалов для колец, соответствующих Шаблон:Math и Шаблон:Math.
Аналогично коммутативно-алгебраическому случаю, существуют точные последовательности, ассоциированные с морфизмами схем. Если даны морфизмы схем <math>f:X\to Y</math> и <math>g:Y\to Z</math>, то существует точная последовательность пучков на <math>X</math>
- <math>f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0 </math>
Также, если <math>Z \subset X</math> — это замкнутая подсхема, заданная пучком идеалов <math>\mathcal{I}</math>, то существует точная последовательность пучков
- <math>\frac{\mathcal{I}}{\mathcal{I}^2} \to \Omega_{X/Y}\otimes\mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/Y} \to 0</math>
на <math>Z</math>
Примечания
Литература
