Русская Википедия:Лагранжева система
Шаблон:Проще В математике лагранжевой системой называется пара <math>(Y,L)</math> гладкого расслоения <math>Y\to X</math> и лагранжевой плотности <math>L</math>, которая определяет дифференциальный оператор Эйлера — Лагранжа, действующий на сечения расслоения <math>Y\to X</math>.
В классической механике многие динамические системы являются лагранжевыми. Конфигурационным пространством такой лагранжевой системы служит расслоение <math>Q\to\mathbb R</math> над осью времени <math>\mathbb R</math> (в частности, <math>Q=\mathbb R\times M</math>, если система отсчёта фиксирована). В классической теории поля, все полевые системы являются лагранжевыми.
Лагранжева плотность <math>L</math> (или просто лагранжиан) порядка <math>r</math> определяется как <math>n</math>-форма, <math>n=</math>dim<math>X</math>, на многообразии струй <math>J^rY</math> порядка <math>r</math> сечений расслоения <math>Y</math>. Лагранжиан <math>L</math> может быть введён как элемент вариационного бикомплекса дифференциальной градуированной алгебры <math>O^*_\infty(Y)</math> внешних форм на многообразиях струй расслоения <math>Y\to X</math>. Оператор кограницы этого бикомплекса содержит вариационный оператор <math>\delta</math>, который, действуя на <math>L</math>, определяет ассоциированный оператор Эйлера — Лагранжа <math>\delta L</math>. Относительно координат <math>(x^\lambda,y^i)</math> на расслоении <math>Y</math> и соответствующих координат <math>(x^\lambda,y^i,y^i_\Lambda)</math> (<math>\Lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)</math>, <math>|\Lambda|=k\leq r</math>) на многообразии струй <math>J^rY</math> лагранжиан <math>L</math> и оператор Эйлера — Лагранжа имеют вид:
- <math>L=\mathcal{L}(x^\lambda,y^i,y^i_\Lambda) \, d^nx,</math>
- <math>\delta L= \delta_i\mathcal{L} \, dy^i\wedge d^nx,\qquad \delta_i\mathcal{L} =\partial_i\mathcal{L} +
\sum_{|\Lambda|}(-1)^{|\Lambda|} \, d_\Lambda \, \partial_i^\Lambda\mathcal{L},</math>
где
- <math>d_\Lambda=d_{\lambda_1}\cdots d_{\lambda_k}, \qquad
d_\lambda=\partial_\lambda + y^i_\lambda\partial_i +\cdots,</math>
обозначают полные производные. Например, лагранжиан первого порядка и оператор Эйлера — Лагранжа второго порядка принимают форму
- <math>L=\mathcal{L}(x^\lambda,y^i,y^i_\lambda) \, d^nx,\qquad
\delta_i L =\partial_i\mathcal{L} - d_\lambda \partial_i^\lambda\mathcal{L}.</math>
Ядро оператора Эйлера — Лагранжа задаёт уравнение Эйлера — Лагранжа <math>\delta L=0</math>.
Когомологии вариационного бикомплекса определяют так называемую вариационную формулу
- <math>dL=\delta L + d_H \Theta_L,</math>
где
- <math>d_H\phi=dx^\lambda\wedge d_\lambda\phi, \qquad \phi\in
O^*_\infty(Y)</math>
- полный дифференциал и <math>\Theta_L</math> - эквивалент Лепажа лагранжиана <math>L</math>. Первая и вторая теоремы Нётер являются следствиями этой вариационной формулы.
Будучи обобщённым на градуированные многообразия, вариационный бикомплекс описывает градуированные лагранжевы системы четных и нечётных переменных.
В другом варианте лагранжиан, оператор Эйлера — Лагранжа и уравнения Эйлера — Лагранжа вводятся в рамках вариационного исчисления.
См. также
- Лагранжиан
- Вариационное исчисление
- Вариационный бикомплекс
- Уравнение Эйлера — Лагранжа
- Теорема Нётер
- Тождества Нётер
- Калибровочная симметрия (математика)
Литература
- Olver, P. Applications of Lie Groups to Differential Equations, 2ed (Springer, 1993) ISBN 0-387-94007-3
- Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., New Lagrangian and Hamiltonian Methods in Field Theory (World Scientific, 1997) ISBN 981-02-1587-8 (arXiv: 0908.1886)
Ссылки
- Sardanashvily, G., Graded Lagrangian formalism, Int. G. Geom. Methods Mod. Phys. 10 (2013) N5 1350016; arXiv: 1206.2508Шаблон:Недоступная ссылка
