Русская Википедия:Ласточкин хвост (поверхность)
Ла́сточкин хвост (Шаблон:Lang-en) — нерегулярная поверхность (стратифицированное многообразие) в трёхмерном пространстве, определить которую можно несколькими эквивалентными способами.
Поверхность ласточкин хвост была подробно изучена Кронекером в 1878 году, она встречается также в работах Кэли того же времени, посвящённых особенностям распространяющихся волновых фронтов и каустик[1]. Ласточкин хвост находит многочисленные применения в теории катастроф и теории бифуркаций. В частности, он является поверхностью критических значений (образом множества критических точек) одного из устойчивых ростков гладких отображений <math>f: \R^3\to\R^3</math>.
Определение
Рассмотрим многочлен <math>P(x)=x^4+ax^2+bx+c</math> от переменной <math>x</math>, зависящий от коэффициентов <math>a,b,c</math> (и переменная, и коэффициенты предполагаются вещественными). Каждой тройке коэффициентов <math>a,b,c</math> однозначно соответствует многочлен <math>P(x)</math>, а также точка в пространстве с декартовыми координатами <math>(a,b,c)</math>. Тогда «ласточкин хвост» определяется как поверхность <math>S</math> в пространстве с координатами <math>(a,b,c)</math>, точкам которой соответствуют многочлены <math>P(x)</math>, имеющие кратные корни.
Поверхность <math>S</math> имеет особенность в виде ребра возврата и линии самопересечения, при этом ребро возврата имеет вид полукубической параболы, имеющей особенность в виде точки возврата (каспа). Поверхность <math>S</math> разбивает пространство <math>(a,b,c)</math> на три области, соответствующие числу вещественных корней многочлена <math>P(x)</math>. Именно, в области, имеющей вид криволинейной пирамиды, ребрами которой являются линия самопересечения и две ветви полукубической параболы, <math>P(x)</math> имеет 4 вещественных корня; в прилегающей к ней области — два и в оставшейся области — нуль.
- Параметрическое задание
Пользуясь данным определением, можно получить формулу, задающую ласточкин хвост параметрически. Именно, условие кратного корня многочлена <math>P(x)</math> дает систему из двух уравнений:
<math> P(x)=x^4+ax^2+bx+c=0, \ \ P'(x)=4x^3+2ax+b=0,</math>
откуда нетрудно выразить переменные <math>b,c</math> через <math>a,x</math>:
<math> \left\{ \begin{matrix} b =& -2(2x^3 + ax) \\ c =& 3x^4 + ax^2. \\ \end{matrix} \right. </math>
Вводя в пространстве коэффициентов многочлена новые координаты <math>x_1=a, \ x_2=-b/2, \ x_3=c</math>, рассматривая переменные <math>a,x</math> в правой части полученных уравнений как параметры: <math>u=a, \ v=x</math>, и дополняя полученную систему из двух уравнений тривиальным третьим уравнением <math>x_1=u</math>, получаем параметрическую запись:
<math> \left\{ \begin{matrix} x_1(u,v) =& u \\ x_2(u,v) =& 2v^3 + uv \\ x_3(u,v) =& 3v^4 + uv^2. \\ \end{matrix} \right. </math>
В искусстве
В 1983 году испанский художник Сальвадор Дали под впечатлением от работ французского математика Рене Тома в области теории катастроф написал картину «Ласточкин хвост» (Шаблон:Lang-en), представляющую собой простую каллиграфическую композицию на светлом фоне, в центре которой изображено сечение поверхности <math>S</math> в пространстве <math>(a,b,c)</math> плоскостью <math>a = const >0</math> — кривая с точкой самопересечения и двумя полукубическими точками возврата. На этой картине, ставшей последним произведением художника, можно видеть также кубическую параболу, стилизованные знаки интеграла и фрагменты музыкальных инструментов[2] [3] [4][5].
См. также
Литература
- Арнольд В. И. Теория катастроф, — Любое издание.
- Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
- Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988.
- Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов, — М.: Фазис, 1996.
- В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.
- Шаблон:Книга
Примечания
- ↑ Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей. — стр. 8.
- ↑ Ласточкин хвост — последнее произведение Сальвадора Дали Шаблон:Wayback.
- ↑ Теория катастроф 1979 - 1983 Шаблон:Wayback.
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Dalí, Salvador, ‘Gala, Velásquez and the Golden Fleece’ (9 May 1979). Reproduced in-part in Robert Descharnes, Dalí, the Work, the Man (New York: Harry N. Abrams, 1984) 420. Originally published in French as Dalí, l’oeuvre et l’homme (Lausanne: Edita, 1984).
