Русская Википедия:Лемма Адамара
Лемма Адамара (Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-fr) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара[1].
Шаблон:Рамка Пусть <math>f\colon\R^n\to\R</math> — функция класса <math>C^{r}</math>, где <math>r\geqslant 1</math>, определённая в выпуклой окрестности <math>U</math> точки <math>0</math>. Тогда существуют такие функции <math>g_1,\;\ldots,\;g_n\colon\R^n\to\R</math> класса <math>C^{r-1}</math>, определённые в <math>U</math>, что для всех <math>x=(x_1,\;\ldots,\;x_n)\in U</math> имеет место равенство[1]
- <math>f(x_1,\;\ldots,\;x_n)=f(0)+\sum_{i=1}^n x_i\,\;g_i(x_1,\;\ldots,\;x_n),\quad g_i(0)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0).</math>
Если функция <math>f</math> — аналитическая, то и функции <math>g_1,\;\ldots,\;g_n</math> в приведенной выше формуле аналитические.
Обобщенная формулировка
Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров:
Шаблон:Рамка Пусть <math>f(x,\,y)\colon\R^n\times\R^m\to\R</math> — функция класса <math>C^{r}</math>, где <math>r\geqslant 1</math>, определённая в выпуклой окрестности <math>U</math> точки <math>0</math>, при этом <math>x=(x_1,\;\ldots,\;x_n)</math> и <math>y=(y_1,\;\ldots,\;y_m)</math>. Тогда существуют такие функции <math>g_1(x,\,y),\;\ldots,\;g_n(x,\,y)\colon\R^n\times\R^m\to\R</math> класса <math>C^{r-1}</math>, определённые в <math>U</math>, что для всех <math>(x,\,y)\in U</math> имеет место равенство
- <math>f(x,\,y)=f(0,\,y)+\sum_{i=1}^n x_i\,\;g_i(x,\,y),\quad g_i(0,\,y)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0,\,y).</math>
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию <math>f(tx,\,y)=f(tx_1,\,\ldots,\,tx_n,\,y_1,\,\ldots,\,y_m)</math>, где <math>t</math> — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть <math>t</math> пробегает значения из отрезка <math>[0,\,1]</math>, тогда функция <math>f(tx,\,y)</math>, рассматриваемая как функция <math>\R^{n+m}\to\R</math> при каждом фиксированном значении параметра <math>t</math>, пробегает в пространстве функций от <math>n+m</math> переменных некоторую кривую с концами <math>f(0,\,y)</math> и <math>f(x,\,y)</math>.
Рассматривая <math>f(tx,\,y)</math> как функцию переменной <math>t</math>, зависящую от параметров <math>x\in R^n</math> и <math>y\in R^m</math>, и применяя формулу Ньютона — Лейбница, можно записать:
- <math>f(x,\,y)-f(0,\,y)=\int_0^1\frac{df(tx,\,y)}{dt}\,dt=\int_0^1\sum_{i=1}^n x_i\,\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,\,y)\,dt=\sum_{i=1}^n x_i g_i(x,\,y),</math>
где
- <math>g_i(x,\,y):=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,\,y)\,dt.</math>
Требуемая гладкость функций <math>g_i(x,\,y)</math> следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.
Применения
Лемма Адамара позволяет получить ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей.
- С помощью леммы Адамара легко доказывается Лемма Морса.
- Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции <math>f(x,\,y_1,\,\ldots,\,y_m)</math> обращается в нуль на гиперплоскости <math>x=0</math>, то он представим в виде <math>f=x\,g(x,\,y_1,\,\ldots,\,y_m),</math> где <math>g</math> — некоторая гладкая функция.
- Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции <math>f(x,\,y_1,\,\ldots,\,y_m)</math> имеет место представление <math>f=f_0(y_1,\,\ldots,\,y_m)+x\,g(x,\,y_1,\,\ldots,\,y_m),</math> где <math>f_0=f(0,\,y_1,\,\ldots,\,y_m)</math> и <math>g</math> — гладкие функции.
- Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:
- <math>f=f_0(y_1,\,\ldots,\,y_m)+x\,f_1(y_1,\,\ldots,\,y_m)+\ldots+x^n\,f_n(y_1,\,\ldots,\,y_m)+x^{n+1}\,g(x,\,y_1,\,\ldots,\,y_m),</math>
где <math>f_i(y_1,\,\ldots,\,y_m)</math> и <math>g</math> — гладкие функции и <math>n</math> — произвольное натуральное число.
См. также
Примечания
Литература
