Для любого натурального <math>n</math> существует такое натуральное <math>M = M (n)</math>, что верно
следующее.
Пусть <math>\mathfrak B</math> — произвольное множество замкнутых шаров в <math>\R^n</math> с радиусами не больше 1.
Тогда можно выбрать не более чем счётный набор шаров <math>\mathfrak B'\subset \mathfrak B</math>,
такой что центр любого шара из <math>\mathfrak B</math> принадлежит хотя бы одному шару из <math>\mathfrak B'</math>
и при этом семейство <math>\mathfrak B'</math> можно разбить на <math>M</math> подсемейств с попарно непересекающимися шарами в каждом.
Замечания
Файл:8balls.svgВосемь попарно пересекающихся кругов не содержащих центры друг друга.
Можно предположить, что <math>M(n)=5^n</math>.
Оптимальная константа не известна даже для плоскости; нижняя оценка 8 (следует из примера на рисунке) и верхняя 19.[1][2]
Применения
Область применений леммы Безиковича близка к области применений леммы Витали.
Но лемма Безиковича применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств, включая евклидово пространство, в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер <math>\mu</math> обладающих свойством удвоения.
Последнее означает, что для некоторой вещественной константы <math>C</math> и произвольного шара <math>B</math> имеем
<math>\mu(2\cdot B)\le C\cdot\mu(B)</math>.
Вариации и обобщения
Достаточным условием для выполнения леммы Безиковича в метрическом пространстве является так называемая ограниченность по направлениям. Это свойство ввёл в рассмотрение Герберт Федерер.[3]
