Файл:Vitali covering lemma.svgСверху изначальное семейство шаров. Зелёным выделены непересекающиеся шары, синим — все остальные. Ниже та же диаграмма, в которой зелёные шары утроены — заметим, что они покрывают все голубые шары.
Эта лемма используется в доказательстве теоремы Витали о покрытиях, но также представляет самостоятельный интерес.
Названа в честь итальянского математика Джузеппе Витали.
Пусть <math> B_{1}, \ldots, B_{n} </math> — конечный набор шаров, содержащихся в d-мерномевклидовом пространствеRd (или, в более общем случае, в произвольном метрическом пространстве). Тогда существует подмножество <math> B_{j_{1}}, B_{j_{2}}, \dots, B_{j_{m}} </math> из этих шаров, в котором шары попарно не пересекаются, и выполняется
где <math> 3B_{j_{k}}</math> обозначает шар с тем же центром, что и у <math>B_{j_{k}}</math>, но с утроенным радиусом.
Бесконечная версия
Пусть <math> \{B_{j}\mid j\in J\}</math> — произвольный (счётный или несчётный) набор шаров в Rd (или, более общо, в метрическом пространстве), такой что
В бесконечной версии лемма перестаёт быть верной, если радиусы не ограничены: например, это неверно для бесконечного набора концентрических шаров с целыми положительными радиусами.
В самом общем случае, для произвольного метрического пространства, выбор максимальной непересекающейся подколлекции шаров требует некоторой формы леммы Цорна.
Следствия
В любом конечном наборе шаров <math>n</math>-мерного евклидова пространства с объёмом объединения <math>V</math>, можно выбрать поднабор пересекающихся между собой шаров с общим объёмом не менее <math>\tfrac1{3^n}\cdot V</math>.
Коэффициент <math>\tfrac1{3^n}</math> не является оптимальным и оптимальное значение не известно.[1]
Вариации и обобщения
Вместо шаров можно брать другие области с довольно слабыми условиями.[2]
Лемма Безиковича — аналог леммы Витали. Она применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств включая евклидово пространство в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер <math>\mu</math> обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы <math>C</math> и произвольного шара <math>B</math> имеем
