Русская Википедия:Лемма Гаусса о квадратичных вычетах

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Дзт Ле́мма Га́усса позволяет определять, является ли число квадратичным вычетом по модулю простого числа.

Формулировка

Возьмем простое <math>p</math> и натуральное <math>a </math> такое что <math>(a,p)=1</math>. Посмотрим на остатки чисел <math>a,2\cdot a,3\cdot a,\dots\frac{p-1}{2}\cdot a</math> по модулю <math>p</math>. Пусть среди них <math>v</math> остатков больших чем <math>\frac{p}{2}</math>, тогда <math>\left (\frac{a}{p} \right )=(-1)^v </math> (здесь использован символ Лежандра).

Доказательство

Рассмотрим произведение <math>a\cdot 2a\cdot 3a\cdots\frac{p-1}{2}\cdot a\equiv\left ( \frac{p-1}{2} \right )!\cdot a^{\frac{p-1}{2}}\pmod{p}</math>. Заменим числа <math>k\cdot a</math>, большие чем <math>\frac{p}{2}</math> по модулю <math>p </math>, на <math>(-1)\cdot (p-k\cdot a)</math>. Тогда слева вынесем <math>(-1)^v</math> и получим произведение некоторых <math> \frac{p-1}{2}</math> чисел по модулю <math>p</math>, которые различны по модулю <math>p</math> (<math>(m\pm n)\cdot a\not\equiv0\pmod{p}</math>) и дают остаток меньше <math>\frac{p}{2}</math>, значит это произведение сравнимо с <math>\left ( \frac{p-1}{2} \right )!</math>. Тогда мы можем сократить наше сравнение на <math>\left ( \frac{p-1}{2} \right )! </math> и получим что <math>(-1)^v \equiv a^{(p-1)/2}\pmod{p}</math>. По критерию Эйлера <math>a^{\frac{p-1}{2}}\equiv\left ( \frac{a}{p}\right)\pmod{p}</math>.