Русская Википедия:Лемма Гаусса о приводимости многочленов
Шаблон:Дзт Ле́мма Га́усса — утверждение про свойства многочленов над факториальными кольцами, которое впервые было доказано для многочленов над кольцом целых чисел. Широко применяется в теории колец и полей, в частности, при доказательстве факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом и теоремы Люрота.
Формулировка
Пусть <math>R</math> — факториальное кольцо (например, кольцо целых чисел). Тогда справедливы следующие два утверждения:
- Пусть <math>a \in R,\;\;\; f,g \in R[x],</math> <math>a</math> неприводимо (а значит и просто) в <math>R</math> и делит все коэффициенты произведения <math>f(x)g(x).</math> Тогда <math>a</math> также делит все коэффициенты или многочлена <math>f(x),</math> или многочлена <math>g(x).</math> В частности, если <math>f(x),g(x)</math> — примитивные многочлены (многочлен называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов обратим, т.е. ассоциирован с единицей), то и многочлен <math>f(x)g(x)</math> примитивен;
- Если <math>Q</math> — поле частных кольца <math>R,</math> и если многочлен неприводим в кольце <math>R[x],</math> то он неприводим и в кольце <math>Q[x].</math>Более того, если многочлен примитивен в <math>R[x],</math> то верно и обратное.
Оба этих утверждения остаются верными, если вместо факториальных колец рассматривать области целостности, в которых любые два элемента имеют наибольший общий делитель.
Доказательство (для факториальных колец)
Докажем, что если простой элемент <math>p</math> кольца <math>R</math> является общим делителем коэффициентов <math>f(x)g(x)</math>, то он делит либо все коэффициенты <math>f(x),</math> либо все коэффициенты <math>g(x)</math>.
Пусть <math> f(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_n x^n </math>, <math> g (x) = b_0 + b_1x + \ldots + b_m x^m </math>, <math> n = \operatorname {deg} f, m = \operatorname {deg} g </math> — степени этих многочленов.
Допустим, что <math>p</math> не делит в совокупности ни коэффициенты <math> f(x), </math> ни <math> g (x).</math> Тогда существуют наименьшие <math>i, j</math> для которых <math>p \nmid a_i</math> и <math>p \nmid b_j.</math>
Коэффициент при элементе степени <math>i + j</math> многочлена <math>f(x)g(x)</math> имеет вид:
- <math>\sum_{k < i} a_kb_{i+j - k} + a_i b_j + \sum_{l < j} a_{i+j-l}b_{l}.</math>
В соответствии с выбором <math>i, j</math> элемент <math>p</math> делит все слагаемые в этой сумме, за исключением <math>a_i b_j,</math> который он не делит в силу своей простоты и факториальности <math>R.</math> Стало быть, он не делит и всю сумму, которая является одним из коэффициентов многочлена, и мы приходим к противоречию. Непосредственным следствием этого пункта является то, что если <math>f(x), g(x)</math> примитивны, то их произведение <math>f(x)g(x)</math> — тоже примитивный многочлен.
Пусть теперь <math>f(x) = f_1(x)f_2(x)</math> — факторизация в кольце <math>Q[x].</math> Домножив каждый из <math>f_1(x), f_2(x)</math> на общее кратное знаменателей их коэффициентов, получим, что <math>af_1(x) = h_1(x) \in R[x]</math> и <math>bf_2(x) = h_2(x) \in R[x]</math> и <math>abf(x)= g_1(x)g_2(x).</math>
Каждый из простых делителей <math>ab</math> делит все коэффициенты <math>g_1(x)g_2(x),</math> а значит и все коэффициенты одного из многочленов-сомножителей. Разделив на этот делитель и повторив процесс конечное число раз, получим факторизацию в кольце <math>R[x].</math>
См. также
Литература
