Русская Википедия:Лемма Йонеды
Лемма Йонеды — результат о функторе Hom; теоретико-категорное обобщение классической теорико-групповой теоремы Кэли (если рассматривать группу как категорию из одного объекта). Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в категорию множеств. Является важным инструментом, позволившим получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений.
Общий случай
В произвольной (локально малой) категории для данного объекта <math>A</math> можно рассмотреть ковариантный функтор Hom, обозначаемый:
- <math>h^A = \mathrm{Hom}(A, -)</math>.
Лемма Йонеды утверждает, что для любого объекта <math>A</math> категории <math>\mathcal C</math>, естественные преобразования из <math>h^A</math> в произвольный функтор <math>F</math> из категории <math>\mathcal C</math> в категорию множеств <math>\mathbf{Set}</math> находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами <math>F(A)</math>:
- <math>\mathrm{Nat}(h^A,F) \cong F(A)</math>.
Для данного естественного преобразования <math>\Phi</math> из <math>h^A</math> в <math>F</math> соответствующий элемент <math>F(A)</math> — это <math>u = \Phi_A(\mathrm{id}_A)</math>, то есть естественное преобразование однозначно определяется образом тождественного морфизма.
Контравариантная версия леммы рассматривает контравариантный функтор:
- <math>h_A = \mathrm{Hom}(-, A)</math>,
отправляющий <math>X</math> во множество <math>\mathrm{Hom}(X, A)</math>. Для произвольного контравариантного функтора <math>G</math> из <math>\mathcal C</math> в <math>\mathbf{Set}</math>
- <math>\mathrm{Nat}(h_A,G) \cong G(A)</math>.
Используется мнемоническое правило «падать во что-то» при рассмотрении морфизмов в зафиксированный объект.
Доказательство леммы Йонеды представлено на следующей коммутативной диаграмме:
Диаграмма показывает, что естественное преобразование <math>\Phi</math> полностью определяется <math>\Phi_A(\mathrm{id}_A)=u</math>, так как для любого морфизма <math>f \colon A \to X</math>:
- <math>\Phi_X(f) = (Ff)u</math>.
Более того, эта формула задаёт естественное преобразование для любого <math>u \in F(A)</math> (так как диаграмма коммутативна). Доказательство контравариантного случая аналогично.
Вложение Йонеды
Частный случай леммы Йонеды — когда функтор <math>F</math> также является функтором Hom. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что:
- <math>\mathrm{Nat}(h^A,h^B) \cong \mathrm{Hom}(B,A)</math>.
Отображение каждого объекта <math>A</math> категории <math>\mathcal C</math> в соответствующий Hom-функтор <math>h^A = Hom(A, -)</math> и каждый морфизм <math>f \colon B \to A</math> в соответствующее естественное преобразование <math>\mathrm{Hom}(f, -)</math> задаёт контравариантный функтор <math>h^{-}</math> из <math>\mathcal C</math> в <math>\mathbf{Set}^\mathcal C</math>, либо ковариантный функтор:
- <math>h^{-}\colon \mathcal C^{\text{op}} \to \mathbf{Set}^\mathcal C</math>.
В этой ситуации лемма Йонеды утверждает, что <math>h^{-}</math> — вполне унивалентный функтор, то есть задаёт вложение <math>\mathcal C^{op}</math> в категорию функторов в <math>\mathbf{Set}</math>.
В контравариантном случае по лемме Йонеды:
- <math>\mathrm{Nat}(h_A,h_B) \cong \mathrm{Hom}(A,B)</math>.
Следовательно <math>h_{-}</math> задаёт вполне унивалентный ковариантный функтор (вложение Йонеды):
- <math>h_{-}\colon \mathcal C \to \mathbf{Set}^{\mathcal C^{\mathrm{op}}}</math>.
Литература
