Русская Википедия:Лемма Морса
Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.
Формулировка
Пусть <math>f: \R^n\to\R</math> — функция класса <math>C^{r+2}</math>, где <math>r \ge 1</math>, имеющая точку <math>0\in\R^n</math> своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> обращается в нуль, а гессиан <math>\Bigl|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Bigr|</math> отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности <math>U</math> точки <math>0</math> существует такая система <math>C^{r}</math>-гладких локальных координат (карта) <math>(x_1,x_2, \ldots ,x_n)</math> с началом в точке <math>0</math>, что для всех <math>x\in U</math> имеет место равенство[1]
- <math>f(x)=f(0)-x_1^2-\dots-x_k^2+x_{k+1}^2+\dots+x_n^2</math>.
При этом число <math>k</math>, определяемое сигнатурой квадратичной части ростка <math>f</math> в точке <math>0</math>, называется индексом критической точки <math>0</math> данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.
Вариации и обобщения
Теорема Тужрона
В окрестности критической точки <math>0</math> конечной кратности <math>\mu</math> существует система координат, в которой гладкая функция <math>f(x)</math> имеет вид многочлена <math>P_{\mu+1}(x)</math> степени <math>\mu+1</math> (в качестве <math>P_{\mu+1}(x)</math> можно взять многочлен Тейлора функции <math>f(x)</math> в точке <math>0</math> в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность <math>\mu=1</math>, и теорема Тужрона превращается в лемму Морса[1][2].
Лемма Морса с параметрами
Пусть <math>f(x_1,\ldots,x_n, y_1,\ldots,y_m): \R^{n+m} \to \R</math> — гладкая функция, имеющая начало координат <math>0</math> своей критической точкой, невырожденной по переменным <math>x_1,\ldots,x_n</math>. Тогда в окрестности точки <math>0</math> существуют гладкие координаты, в которых
- <math>f(x,y) = \alpha_1 x_1^2 + \cdots + \alpha_n x_n^2 \, + \, f_0(y_1,\ldots,y_m), \quad \alpha_i = \pm 1,</math>
где <math>f_0</math> — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от <math>n+m</math> переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции)[1].
Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара или другим способом[1].
О доказательствах
Обычно доказывается прямым построением диффеоморфизма[3]. Более концептуальное доказательство использует трюк Мозера[4].
Примечания
Литература
- Даринский Б. М., Сапронов Ю. И., Царёв С. Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3-140.
- Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.
- ↑ Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Palais, Richard S. "The Morse lemma for Banach spaces." Bulletin of the American Mathematical Society 75.5 (1969): 968-971.
