Русская Википедия:Лемма Синга

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Лемма Синга — ключевое утверждение о стабильности замкнутых геодезических в римановых многообразиях с положительной секционной кривизной.

Лемма является прямым следствием формулы для второй вариации длин однопараметрического семейства кривых. Она использовалась Джоном Сингом.

Формулировка

Пусть <math>\gamma\colon[0;1]\to M</math> есть геодезическая в римановом многообразии <math>M</math> с положительной секционной кривизной и <math>V</math> параллельное поле касательных векторов на <math>\gamma</math>. Тогда вариация <math>\gamma</math> в направлении <math>V</math> сокращает её длину.

Более точно, если

<math>\gamma_\tau(t)=\exp_{\gamma(t)}(\tau\cdot V(t))</math>

и <math>L(\tau)</math> обозначает длину кривой <math>\gamma_\tau</math> тогда <math>L'(0)=0</math> и <math>L(0)<0</math>.

Следствия

• Eсли замкнутая геодезическая допускающая параллельное векторное поле не является стабильной, то есть её длина может быть уменьшена произвольно малой деформацией. В частности,
  • Чётномерные ориентированные римановы многообразия с положительной секционной кривизной односвязны.
  • Нечётномерные римановы многообразия с положительной секционной кривизной ориентированны.
• Лемма Синга использовалась также Шаблон:Iw для доказательства того, что если <math>V</math> и <math>W</math> являются замкнутыми геодезическими подмногобразиями в римановом многообразии <math>M</math> с положительной секционной кривизной и <math>\dim V+\dim W\ge \dim M</math> то <math>V</math> и <math>W</math> пересекаются.