Русская Википедия:Лемма Соллертинского
Ле́мма Соллерти́нского — утверждение проективной геометрии.
Шаблон:Рамка Пусть <math>P</math> — произвольная точка и <math>f</math> — проективное преобразование. Тогда множество точек пересечения <math>l</math> и <math>f(l)</math>, где <math>l</math> — прямая, проходящая через <math>P</math>, есть коника, проходящая через точки <math>P</math> и <math>f(P).</math> Шаблон:Конец рамки
Доказательство
История
Лемма названа в честь петербургского математика Н. Соллертинского, использовавшего её при доказательстве теоремы Сонда́ в 1896 году.[1] На самом деле это утверждение было известно до Соллертинского; приписывается оно ещё Якобу Штейнеру.
Частные случаи, обобщения и следствия
- Если <math>f</math> — движение плоскости, сохраняющее ориентацию фигур, то полученная коника будет окружностью. Это равносильно теореме о вписанном угле.
- Если <math>f</math> — движение плоскости, изменяющее ориентацию фигур, то полученная коника будет равносторонней гиперболой. Это следует из того, что описанная коника проходит через ортоцентр треугольника тогда и только тогда, когда она является равносторонней гиперболой.
- Двойственное к лемме Соллертинского утверждение звучит так: Шаблон:Рамка
Пусть <math>l</math> — произвольная прямая и <math>f</math> — проективное преобразование. Тогда все прямые <math>Pf(P)</math>, где <math>P</math> — точка, лежащая на <math>l</math>, касаются коники, касающейся прямых <math>l</math> и <math>f(l).</math> Шаблон:Конец рамки
- Обратно, всякое гармоническое соответствие двух прямых на плоскости (соответствие между их точками, сохраняющее двойные отношения) получается таким образом: выбирается коника <math>Q</math>, касающаяся обеих прямых <math>\ell, \ell'</math>, в точке <math>x \in \ell</math> проводится касательная к <math>Q</math>, отличная от <math>\ell</math>, и берется точка ее пересечения с <math>\ell'</math>.
- Если <math>\ell,\ell'</math> — две скрещивающиеся прямые в пространстве, и <math>f \colon \ell \to \ell'</math> — соответствие, сохраняющее двойные отношения, то прямая <math>xf(x)</math> заметает некую квадрику. Они будут составлять одно из двух семейств прямых на ней, а <math>\ell</math> и <math>\ell'</math> будут относиться к другому семейству.
- Пусть на сторонах произвольного треугольника <math>ABC</math> построили во внешнюю (внутреннюю) сторону подобные равнобедренные треугольники <math>ABC'</math>, <math>ACB'</math>, <math>BCA'</math>. Тогда прямые <math>AA'</math>, <math>BB'</math>, <math>CC'</math> пересекаются в одной точке, лежащей на описанной гиперболе, проходящей через центроид и ортоцентр — гиперболе Киперта.
- Если два треугольника ортологичны, причём центры ортологии совпадают, то они перспективны.
- Это утверждение Соллертинский использовал при доказательстве теоремы Сонда.
- Из него также следует, что если два треугольника полярны, то они перспективны.
Примечания
