Русская Википедия:Лемма Фату

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

Стандартная формулировка леммы Фату

<math>\operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}}</math> обозначает борелевскую <math>\sigma</math>- алгебру на <math>[0,+\infty)</math>.

Лемма. Дано пространство с мерой <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math> и множество <math>X \in \Sigma,</math> пусть <math>\{f_n\}</math> последовательность <math>(\Sigma, \operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}})</math>- измеримых неотрицательных функций <math>f_n: X\to [0,+\infty)</math>.

Определим функцию <math>f: X\to [0,+\infty) </math> :

<math>

f(x) =\liminf_{n\to\infty} f_n(x), </math> для любого <math>x\in X</math>. Тогда <math>f</math> является <math>(\Sigma, \operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}})</math>- измеримой и :

<math> \int_X f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_X f_n\,d\mu. </math>

Замечание 1. Интеграл может быть конечным или бесконечным.

Замечание 2. Лемма Фату остается верной, если ее предположения сохраняются почти всюду. Другими словами, этого вполне достаточно, чтобы существовало нулевое множество <math>N</math> такое, что последовательность <math>\{f_n(x)\}</math> не убывала для любого <math>{x\in X\setminus N}.</math>

Чтобы понять, почему это так, начнем с наблюдения, что возможность последовательности <math>\{ f_n \}</math> почти всюду поточечно не убывать приводит к тому, что ее поточечный предел <math>f</math> не определен на некотором нулевом множестве <math>N</math>. В <math>N</math> функция <math>f</math> может быть определена любым способом, который сохраняет измеримость.

Чтобы увидеть, почему это не повлияет на результат, отметим, что поскольку <math>{\mu(N)=0},</math> то для любого <math>k,</math>

<math> \int_X f_k \,d\mu = \int_{X \setminus N} f_k \,d\mu</math> и <math>\int_X f \,d\mu = \int_{X \setminus N} f \,d\mu, </math>

при условии, что <math>f</math> является <math>(\Sigma,\operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}})</math>- измеримой. (Эти равенства непосредственно следуют из определения интеграла Лебега для неотрицательной функции).

Для дальнейшего доказательства допустим, что <math>\textstyle g_n(x)=\inf_{k\geq n}f_k(x)</math>.

Замечание 3. Для любого <math>x\in X</math>Шаблон:Ordered listЗамечание 4. Приведенное ниже доказательство не использует никаких свойств интеграла Лебега, кроме тех, которые установлены здесь.

Замечание 5 (монотонность интеграла Лебега). В приведенном ниже доказательстве мы применяем монотонное свойство интеграла Лебега к неотрицательным функциям. Пусть функции <math>f,g : X \to [0,+\infty)</math> являются <math>(\Sigma,\operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}})</math>- измеримыми.

Если <math>f \leq g</math> всюду на <math>X,</math> тогда

Если <math> X_1,X_2 \in \Sigma </math> и <math>X_1 \subseteq X_2, </math> тогда

Доказательство.

Определим <math>\operatorname{SF}(h)</math> как набор простых <math>(\Sigma, \operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}})</math>- измеримых функций <math>s:X\to [0,\infty)</math> таких, что <math>0\leq s\leq h</math> всюду на <math>X.</math>

1. Поскольку <math>f \leq g,</math> то

<math> \operatorname{SF}(f) \subseteq \operatorname{SF}(g). </math>

По определению интеграла Лебега и свойств супремума

2. Пусть <math>{\mathbf 1}_{X_1}</math> является индикаторной функцией множества <math>X_1.</math>Из определения интеграла Лебега можно сделать вывод, что

<math> \int_{X_2} f\cdot {\mathbf 1}_{X_1} \,d\mu = \int_{X_1} f \,d\mu</math>.

Заметим, что для любого <math>s \in {\rm SF}(f\cdot {\mathbf 1}_{X_1}),</math> <math>s=0</math> вне <math>X_1.</math> В сочетании с предыдущим свойством неравенство <math> f\cdot {\mathbf 1}_{X_1} \leq f</math> подразумевает:

<math> \int_{X_1} f \,d\mu = \int_{X_2} f\cdot {\mathbf 1}_{X_1} \,d\mu \leq \int_{X_2} f \,d\mu. </math>

Доказательство

Это доказательство не зависит от теоремы Леви о монотонной сходимости. Однако здесь объясняется, как эта теорема может быть применена.

Промежуточные результаты.

Интеграл Лебега как мера.

Лемма 1. Пусть <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math> - пространство с мерой. Рассмотрим простую <math>(\Sigma, \operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}})</math>- измеримую неотрицательную функцию <math>s:\Omega\to{\mathbb R_{\geq 0}}</math>. Для подмножества <math>S\subseteq\Omega</math>, определим

<math>\nu(S)=\int_Ss\,d\mu</math>.

Тогда <math>\nu</math> - мера множества <math>\Omega</math>.

"Непрерывность снизу"

Следующее свойство является прямым следствием определения меры.

Лемма 2. Пусть <math>\mu</math> - мера и <math>S= \cup^\infty_{i=1}S_i</math>, где

<math>

S_1\subseteq\ldots\subseteq S_i\subseteq S_{i+1}\subseteq\ldots\subseteq S </math> неубывающая цепочка со всеми <math>\mu</math>-измеримыми множествами. Тогда:

<math>\mu(S)=\lim_i\mu(S_i)</math>.

Доказательство.

Шаг 1. Докажем, что <math>g_n=g_n(x)</math>- <math>(\Sigma, \operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}})</math>- измерима, для любого <math>n\geq 1</math>.

Действительно, поскольку борелевская <math>\sigma</math>- алгебра на <math>\R\cup\{\pm\infty\}</math> порождается замкнутыми интервалами <math>\{[t, +\infty)\}_{-\infty \leq t \leq +\infty}</math>, то достаточно показать, что <math>g^{-1}_n([t,+\infty))\in\Sigma</math>, для любого <math>t\in [-\infty,+\infty) </math>, где <math>g^{-1}_n([t,+\infty))</math> - прообраз.

Заметим, что:

<math>g_n(x)\geq t\quad\Leftrightarrow\quad\Bigl(\forall k\geq n\quad f_k(x)\geq t\Bigr)</math>,

или, что то же самое:

<math>\begin{align}

g^{-1}_n([t,+\infty))&=\left\{x\in X\mid g_n(x)\geq t\right\}\\[3pt]

                    &=\bigcap_{k}\left\{x\in X\mid f_k(x)\geq t\right\}\\[3pt]
                    &=\bigcap_{k} f^{-1}_k([t,+\infty))

\end{align}</math> Заметим, что что каждое множество правой части принадлежит <math>\Sigma</math>. Т.к. <math>\Sigma</math>, по определению, замкнуто относительно счетных пересечений, то левая часть также принадлежит <math>\Sigma</math>. Доказано, что <math>g_n</math>является <math>(\Sigma, \operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}})</math>- измеримой.

Шаг 2. Теперь покажем, что <math>f</math> <math>(\Sigma, \operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}})</math>- измерима.

Если использовать теорему о монотонной сходимости, то измеримость <math>f</math> следует из замечания 3.

В качестве альтернативы, достаточно проверить, что <math>f^{-1}([0,t])\in\Sigma</math>, для любого <math>t\in [0,+\infty]) </math>. Поскольку последовательность <math>\{g_n(x)\}</math> поточечно не убывает (замечание 3), аргументируя как на первом шаге, получаем:

<math>0\leq f(x)\leq t\quad\Leftrightarrow\quad\Bigl(\forall n\quad 0\leq g_n(x)\leq t\Bigr)</math>.

Измеримость <math>g_n</math> и вышеупомянутая эквивалентность подразумевают, что

<math>f^{-1}([0,t])=\bigcap_{n}g^{-1}_n([0,t])\in\Sigma</math>.

Далее можно доказывать двумя способами: используя теорему Леви о монотонной сходимости или не используя.

Шаг 3. Доказательство с использованием теоремы

По определению, <math>g_n\leq f_n</math>, последовательность <math>\{g_n(x)\}</math> не убывает для любого <math>x\in X</math>. Следовательно

<math>\begin{align}

\int_X f\,d\mu&=\int_X\lim_n g_n\,d\mu\\

             &=\lim_n\int_X g_n\,d\mu\\
             &=\liminf_n\int_X g_n\,d\mu\\
             &\leq \liminf_n\int_X f_n\,d\mu,

\end{align}</math> что и требуется доказать.

Шаг 3. Без использования теоремы

Определим <math>{SF}(f)</math> множество простых <math>(\Sigma, \operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}})</math>- измеримых функций <math>s:X\to [0,\infty)</math> таких, что <math>0\leq s\leq f</math> на <math>X</math>.

Рассмотрим простую функцию <math>s\in\operatorname{SF}(f)</math> и действительное число <math>t\in (0,1)</math>, определим:

<math>B^{s,t}_k=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq g_k(x)\}\subseteq X.</math>

Тогда

<math>B^{s,t}_k\subseteq B^{s,t}_{k+1}</math>, и <math>\textstyle X=\bigcup_k B^{s,t}_k</math>.

Шаг 3a. Пусть:

<math>s=\sum^m_{i=1}c_i\cdot\mathbf{1}_{A_i}</math>

для некоторого конечного набора попарно непересекающихся измеримых множеств <math>A_1,\ldots,A_m\in\Sigma</math> таких, что <math>\textstyle X=\cup^m_{i=1}A_i</math>; некоторых конечных действительных чисел <math>c_1, \ldots, c_m</math>.

Тогда,

<math>B^{s,t}_k=\bigcup^m_{i=1}\Bigl(g^{-1}_k\Bigl([t\cdot c_i,+\infty]\Bigr)\cap A_i\Bigr)</math>.

Поскольку прообраз <math>g^{-1}_k\Bigl([t\cdot c_i,+\infty)\Bigr)</math> борелевского множества <math>[t\cdot c_i,+\infty]</math> измеримой функции <math>g_k</math> является измеримой функцией, а <math>\sigma</math>- алгебра, по определению, замкнута относительно счетных пересечений и объединений, первое утверждение доказано.

Шаг 3b. Для доказательства второго утверждения отметим, что для каждого <math>k</math> и любого <math>x\in X</math>, <math>g_k(x) \leq g_{k+1}(x).</math>

Шаг 3c. Для доказательства третьего утверждения покажем, что <math>\textstyle X\subseteq\bigcup_k B^{s,t}_k</math>.

Действительно, в противном случае <math>\textstyle X\not\subseteq\bigcup_k B^{s,t}_k</math>, тогда существует элемент

<math>x_0\in X\setminus\bigcup_k B^{s,t}_k=\bigcap_k(X\setminus B^{s,t}_k)</math>

такой, что <math>g_k(x_0)<t\cdot s(x_0)</math> для любого <math>k</math>. Рассматривая предел при <math>k\to\infty</math>, получим

Но по первоначальному предположению, <math>s\leq f</math>. Противоречие.

Шаг 4. Для любой простой <math>(\Sigma, \operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}})</math>- измеримой неотрицательной функции <math>s_2</math>:

Для доказательства, определим <math>\textstyle\nu(S)=\int_S s_2\,d\mu</math>.

По лемме 1, <math>\nu(S)</math> измерима на <math>\Omega</math>.

По лемме 2:

<math>\lim_n\int_{B^{s,t}_n}s_2\,d\mu=\lim_n\nu(B^{s,t}_n)=\nu(X)=\int_Xs_2\,d\mu</math>.

Шаг 5. Докажем теперь, что для каждого <math>{\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)} , </math>

<math>\int_X s\,d\mu\leq \lim_k\int_X g_k\,d\mu</math>.

Действительно, используя определение <math>B^{s,t}_k</math>, неотрицательность <math>g_k</math>и монотонность интеграла Лебега, имеем

<math>\forall k \geq 1 \qquad \int_{B^{s,t}_k}t\cdot s\,d\mu\leq \int_{B^{s,t}_k} g_k\,d\mu\leq \int_X g_k\,d\mu.</math>

В соответствии с шагом 4, при <math>k \rightarrow \infin</math> неравенство примет вид:

Переходя к пределу при <math>t\uparrow1</math>, получим:

что и требовалось.

Шаг 6. Чтобы завершить доказательство, мы применяем определение интеграла Лебега к неравенству, установленному на шаге 5, учитывая, что <math>g_n \leq f_n:</math>

<math>\begin{align} \int_X f \,d\mu&=\sup_{s\in\operatorname{SF}(f)}\int_X s\,d\mu\\ &\leq\lim_k\int_X g_k\,d\mu\\ &=\liminf_k\int_X g_k\,d\mu\\ &\leq\liminf_k\int_X f_k\,d\mu \end{align}.</math>

Доказательство закончено.

Примеры строгого неравенства

Обозначим через <math>S</math> пространство c борелевской σ-алгеброй c мерой Лебега.

Пример для вероятностного пространства. Пусть <math>S = [0,1]</math> определяет единичный интервал. Для любого натурального числа <math>n</math> определим:

<math> f_n(x)=\begin{cases}n,&x\in (0,1/n)\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases}</math>

Пример с равномерной сходимостью. Пусть <math>S</math> определяет множество всех действительных чисел. Определим

<math>f_n(x)=\begin{cases}\frac1n,&x\in [0,n]\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases}</math>

Эти последовательности <math>(f_n)_{n\in\N} </math> сходятся на <math>S</math> поточечно (соответственно равномерно) к нулевой функции (с нулевым интегралом), но каждая <math>f_n</math> интегрируема.

Роль неотрицательности

Подходящее предположение относительно отрицательных частей последовательности <math>f_1, f_2,...</math> функций необходимо для леммы Фату, как показано в следующем примере. Обозначим через <math>S</math> <math>[0, \infin)</math> с борелевской σ-алгеброй и мерой Лебега. Для каждого натурального числа n определим

<math>f_n(x)=\begin{cases}-\frac1n,&x\in [n,2n]\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases}</math>

Эта последовательность сходится равномерно на <math>S</math> к нулевой функции (с нулевым интегралом) и для любого <math>x \geq 0</math> мы имеем <math>f_n (x) = 0</math> для всех <math>n> x</math> (поэтому для каждой точки <math>x</math> предел 0 достигается за конечное число шагов). Однако каждая функция <math>f_n</math> имеет интеграл -1, поэтому не выполняется неравенство леммы Фату.

Обратная лемма Фату

Пусть <math>f_1, f_2,...</math> - последовательность расширенных вещественных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой <math>(S, \Sigma, \mu)</math>. Если существует неотрицательная интегрируемая функция <math>g</math> на <math>S</math> такая, что для всех <math>n</math> <math>f_n \leq g</math>, то

<math>\limsup_{n\to\infty}\int_S f_n\,d\mu\leq\int_S\limsup_{n\to\infty}g\,d\mu.</math>

Примечание: здесь <math>g</math> интегрируема означает, что g измерима и что <math>\textstyle\int_S g\,d\mu<\infty.</math>

Доказательство

Применим лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной <math>g - f_n.</math>

Расширения и вариации леммы Фату

Интегрирование по нижней границе

Пусть <math>f_1, f_2,...</math> - последовательность расширенных вещественнозначных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой <math>(S, \Sigma, \mu)</math>. Если существует такая интегрируемая функция <math>g</math> на <math>S</math>, что <math>f_n \geq -g</math> для всех <math>n</math>, то

<math>{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}g\,d\mu .}</math>

Доказательство

Применим лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной <math>f_n + g</math>

Поточечная сходимость

Если в предыдущем пункте последовательность <math>f_1, f_2,...</math>, сходится поточечно к функции <math>f</math> <math>\mu</math>-почти всюду на <math>S</math>, то

<math>\int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.</math>

Доказательство

Заметим, что значения подынтегрального выражения на множестве меры нуль не влияют на значение интеграла.

Сходимость по мере

Последнее утверждение также справедливо, если последовательность <math>f_1, f_2,...</math> сходится по мере к функции <math>f</math>.

Доказательство

Существует такая подпоследовательность, что

<math>{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}</math>

Так как эта подпоследовательность сходится по мере к <math>f</math>, то существует еще одна подпоследовательность, которая сходится поточечно к <math>f</math> почти всюду, поэтому предыдущая вариация леммы Фату применима к этой подпоследовательности.

Лемма Фату с изменяющимися мерами

Во всех вышеприведенных формулировках леммы Фату интегрирование проводилось по одной фиксированной мере <math>\mu</math>. Предположим, что <math>\mu_n</math> - последовательность мер на измеримом пространстве <math>(S, \Sigma)</math> такая, что :

<math>\mu_n(E)\to \mu(E),~\forall E\in \Sigma. </math>

Тогда, когда <math>f_n</math> неотрицательные интегрируемые функции и <math>f</math> является их поточечным пределом, мы имеем:

<math> \int_S f\,d\mu \leq \liminf_{n\to \infty} \int_S f_n\, d\mu_n. </math>

Доказательство

Позволим <math>f_n</math> сходиться <math>\mu</math>-почти всюду на подмножестве <math>E</math> из <math>S</math>. Мы стремимся показать, что

<math>\int_E f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_E f_n\,d\mu_n\,. </math>

Пусть

<math> K=\{x\in E|f_n(x)\setminus f(x)\} .</math>

Тогда <math>\mu (E \setminus K) = 0</math> и

<math> \int_{E}f\,d\mu=\int_{E\setminus K}f\,d\mu,EducationBot (обсуждение)\int_{E}f_n\,d\mu=\int_{E \setminus K}f_n\,d\mu ~\forall n\in \N. </math>

Таким образом, заменив <math>E</math> на <math>E\setminus K</math>, мы можем считать, что <math>f_n</math> поточечно сходится к <math>f</math> на <math>E</math>. Далее заметим, что для любой простой функции <math>\phi</math> имеем:

<math> \int_{E}\phi\, d\mu=\lim_{n\to \infty} \int_{E} \phi\, d\mu_n. </math>

Следовательно, по определению интеграла Лебега достаточно показать, что если <math>\phi</math> - любая неотрицательная простая функция, меньшая или равная <math>f</math>, то

<math> \int_{E}\phi \,d\mu\leq \liminf_{n\rightarrow \infty} \int_{E}f_n\,d\mu_n </math>

Пусть <math>a</math> - минимальное неотрицательное значение <math>\phi</math>. Определим

Сначала рассмотрим случай, когда <math>\int_{E}\phi\, d\mu=\infty.</math> Мы имеем, что <math>\mu (A)</math> бесконечно, так как

где <math>M</math> - (обязательно конечное) максимальное значение <math>\phi</math>. Затем мы определим

<math> A_n=\{x\in E |f_k(x)>a~\forall k\geq n \}. </math>

Мы имеем, что

<math> A\subseteq \bigcup_n A_n \Rightarrow \mu(\bigcup_n A_n)=\infty. </math>

Но <math>A_n</math> является вложенной возрастающей последовательностью функций и, следовательно, по непрерывности снизу <math>\mu</math>,

<math> \lim_{n\rightarrow \infty} \mu(A_n)=\infty.</math>

Таким образом,

<math> \lim_{n\to\infty}\mu_n(A_n)=\mu(A_n)=\infty.</math>

В то же время,

<math> \int_E f_n\, d\mu_n \geq a \mu_n(A_n) \Rightarrow \liminf_{n\to \infty}\int_E f_n \, d\mu_n = \infty = \int_E \phi\, d\mu, </math>

мы доказали это требование в данном случае.

В оставшемся случае, когда <math>\int_{E}\phi\, d\mu<\infty </math>, <math>\mu (A)</math> должно быть конечно. Обозначим, как и выше, через <math>M</math> максимальное значение <math>\phi</math> и зафиксируем <math>\varepsilon> 0.</math> Определим

<math> A_n=\{x\in E|f_k(x)>(1-\epsilon)\phi(x)~\forall k\geq n\}. </math>

Тогда <math>A_n</math> является вложенной возрастающей последовательностью множеств, объединение которых содержит <math>A</math>. Таким образом, <math>A \setminus A_n</math> является убывающей последовательностью множеств с пустым пересечением. Так как <math>A</math> имеет конечную меру (поэтому нам было нужно рассмотреть два отдельных случая):

<math> \lim_{n\rightarrow \infty} \mu(A \setminus A_n)=0. </math>

Таким образом, существует <math>n</math> такое, что:

<math> \mu(A \setminus A_k)<\epsilon ,~\forall k\geq n. </math>

Так как:

<math> \lim_{n\to \infty} \mu_n(A \setminus A_k)=\mu(A \setminus A_k), </math>

существует <math>N</math> такое, что:

<math> \mu_k(A \setminus A_k)<\epsilon,~\forall k\geq N. </math>

Следовательно, для <math>k \geq N</math>

<math> {\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq \int _{A_{k}}f_{k}\,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.} </math>

В то же время,

<math> \int_E \phi \, d\mu_k = \int_A \phi \, d\mu_k = \int_{A_k} \phi \, d\mu_k + \int_{A \setminus A_k} \phi \, d\mu_k. </math>

Следовательно,

<math> (1-\epsilon)\int_{A_k} \phi \, d\mu_k \geq (1-\epsilon)\int_E \phi \, d\mu_k - \int_{A \setminus A_k} \phi \, d\mu_k. </math>

Объединение этих неравенств дает

<math> \int_{E} f_k \, d\mu_k \geq (1-\epsilon)\int_E \phi \, d\mu_k - \int_{A\setminus A_k} \phi \, d\mu_k \geq \int_E \phi \, d\mu_k - \epsilon\left(\int_{E} \phi \, d\mu_k+M\right). </math>

Следовательно, устремляя <math>\varepsilon</math> в <math>0</math> и взяв предел inf в <math>n</math>, получаем, что

<math> \liminf_{n\rightarrow \infty} \int_{E} f_n \, d\mu_k \geq \int_E \phi \, d\mu, </math>

лемма доказана.

Лемма Фату для условных математических ожиданий

В теории вероятностей, путем изменения обозначений, приведенные выше версии леммы Фату применимы к последовательностям случайных величин <math>X_1, X_2, ...</math> , принадлежащих вероятностному пространству <math>(\Omega, \mathcal F, \Rho)</math>; интегралы превращаются в математические ожидания. Кроме того, существует также версия для условных математических ожиданий.

Стандартная версия

Пусть <math>X_1, X_2, ...</math> - последовательность неотрицательных случайных величин из вероятностного пространства <math>(\Omega, \mathcal F, \Rho)</math> и пусть <math>{\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}</math> <math>\sigma</math>-подалгебра.

Тогда <math>\mathbb{E}\Bigl[\liminf_{n\to\infty}X_n\,\Big|\,\mathcal G\Bigr]\le\liminf_{n\to\infty}\,\mathbb{E}[X_n|\mathcal G] </math> почти наверное.

Примечание: условное математическое ожидание неотрицательных случайных величин всегда строго определено, конечное математическое ожидание не требуется.

Доказательство

Помимо изменения обозначений, доказательство очень похоже на доказательство для стандартной версии леммы Фату, описанное выше, однако должна быть применена теорема о монотонной сходимости для условных математических ожиданий.

Обозначим через <math>X</math> предел, уступающий <math>X_n</math>. Для каждого натурального числа <math>k</math> определим точечную оценку случайной величины

Тогда последовательность <math>Y_1, Y_2,...</math> возрастает и поточечно сходится к <math>X.</math> Для <math>k \leq n</math> имеем <math>Y_k \leq X_n</math>, тогда

<math>\mathbb{E}[Y_k|\mathcal G]\le\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]</math> почти наверное в силу монотонности условного математического ожидания, следовательно

<math>\mathbb{E}[Y_k|\mathcal G]\le\inf_{n\ge k}\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]</math> почти наверное, потому что счетное объединение исключительных множеств нулевой вероятности является нулевым множеством. Используя определение <math>X</math>, его представление как поточечного предела <math>Y_k</math>, теорему о монотонной сходимости для условных ожиданий, последнее неравенство и определение нижнего предела, следует, что почти наверное

<math> \begin{align} \mathbb{E}\Bigl[\liminf_{n\to\infty}X_n\,\Big|\,\mathcal G\Bigr] &=\mathbb{E}[X|\mathcal G] =\mathbb{E}\Bigl[\lim_{k\to\infty}Y_k\,\Big|\,\mathcal G\Bigr] =\lim_{k\to\infty}\mathbb{E}[Y_k|\mathcal G] \le\lim_{k\to\infty} \inf_{n\ge k}\mathbb{E}[X_n|\mathcal G] =\liminf_{n\to\infty}\,\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]. \end{align} </math>

Расширение до равномерно интегрируемых отрицательных частей

Пусть <math>X_1, X_2, ...</math> - последовательность неотрицательных случайных величин из вероятностного пространства <math>(\Omega, \mathcal F, \Rho)</math> и пусть <math>{\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}</math> <math>\sigma</math>-подалгебра. Если отрицательные части

<math>X_n^-:=\max\{-X_n,0\},\qquad n\in{\mathbb N},</math>

равномерно интегрируемы относительно условного математического ожидания в том смысле, что при <math>\varepsilon > 0</math> существует такое <math>c > 0</math>, что

<math>\mathbb{E}\bigl[X_n^-1_{\{X_n^->c\}}\,|\,\mathcal G\bigr]<\varepsilon </math> для всех <math>n\in\mathbb{N} </math> почти наверное,

тогда

<math>\mathbb{E}\Bigl[\liminf_{n\to\infty}X_n\,\Big|\,\mathcal G\Bigr]\le\liminf_{n\to\infty}\,\mathbb{E}[X_n|\mathcal G] </math> почти наверное.

Примечание: на множестве, где для

<math>X:=\liminf_{n\to\infty}X_n</math>

выполнено:

<math>\mathbb{E}[\max\{X,0\}\,|\,\mathcal G]=\infty,</math>

левая часть неравенства равна плюс бесконечности. Условное математическое ожидание нижнего предела, возможно, может оказаться незаданным на этом нулевом множестве, поскольку условное ожидание отрицательной части также может быть плюс бесконечностью.

Доказательство

Путь <math>\varepsilon > 0.</math> Из-за равномерной интегрируемости по условному ожиданию существует такое <math>c > 0</math>, что

<math>\mathbb{E}\bigl[X_n^-1_{\{X_n^->c\}}\,|\,\mathcal G\bigr]<\varepsilon,</math> для всех <math>n\in\mathbb{N},</math> почти наверное.

Поскольку

<math>X+c\le\liminf_{n\to\infty}(X_n+c)^+,</math>

где <math>x^+: = max \{x, 0\} </math> обозначает положительную часть вещественного <math>x</math>, используя монотонность условного математического ожидания и стандартную версию леммы Фату для условных математических ожиданий имеем

<math>\mathbb{E}[X\,|\,\mathcal G]+c \le\mathbb{E}\Bigl[\liminf_{n\to\infty}(X_n+c)^+\,\Big|\,\mathcal G\Bigr] \le\liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}[(X_n+c)^+\,|\,\mathcal G] </math> почти наверное.

Поскольку

мы имеем

<math>\mathbb{E}[(X_n+c)^+\,|\,\mathcal G] \le\mathbb{E}[X_n\,|\,\mathcal G]+c+\varepsilon</math> почти наверное,

следовательно,

<math>\mathbb{E}[X\,|\,\mathcal G]\le \liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}[X_n\,|\,\mathcal G]+\varepsilon</math> почти наверное.

Отсюда следует утверждение.

См. также

Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Лемма Фату

Содержание

Стандартная формулировка леммы Фату

Доказательство

Промежуточные результаты.

Интеграл Лебега как мера.

"Непрерывность снизу"

Доказательство.

Примеры строгого неравенства

Роль неотрицательности

Обратная лемма Фату

Доказательство

Расширения и вариации леммы Фату

Интегрирование по нижней границе

Поточечная сходимость

Сходимость по мере

Лемма Фату с изменяющимися мерами

Лемма Фату для условных математических ожиданий

Стандартная версия

Доказательство

Расширение до равномерно интегрируемых отрицательных частей

Доказательство

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты