Русская Википедия:Лемма Ферма
Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.
Предыстория
У Ньютона этот факт упоминался как т. н. принцип остановки[1]:
| « |
Когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад. | » |
| — Анонимус | ||
Выдвинут Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах[2].
Формулировка
Пусть функция <math>f:M \subset \R \to \R,</math> имеет во внутренней точке области определения <math>x \in M^0</math> локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные <math>f'_+(x_0),f'_-(x_0)</math> конечные или бесконечные. Тогда
- если <math>x_0</math> — точка локального максимума, то
- <math>f'_+(x_0) \leqslant 0,\; f'_-(x_0) \geqslant 0;</math>
- если <math>x_0</math> — точка локального минимума, то
- <math>f'_+(x_0) \geqslant 0,\; f'_-(x_0) \leqslant 0.</math>
В частности, если функция <math>f</math> имеет в <math>x_0</math> производную, то
- <math>f'(x_0) = 0.</math>
Доказательство
Предположим, что <math>f(x_0) = \max_{x \in (a,b)} f(x)</math>. Тогда <math>\forall x \in (a,b) \colon f(x) \leqslant f(x_0)</math>.
Поэтому:
- <math>f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0 - 0}\left(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\right) \geqslant 0,</math>
- <math>f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0 + 0}\left(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\right) \leqslant 0.</math>
Если производная <math>f'(x_0)</math> определена, то получаем
- <math>0 \leqslant f'_-(x_0) = f'(x_0) = f'_+(x_0) \leqslant 0</math>,
то есть <math>f'(x_0) = 0</math>.
Если <math>x_0</math> — точка локального минимума функции <math>f</math>, то доказательство аналогично.
Замечание
Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует наличие локального экстремума в этой точке.
Примеры
- Пусть <math>f(x) = |x|</math>. Тогда <math>x = 0</math> — точка локального минимума, и
- <math>f'_+(0) = 1 \geqslant 0</math>, <math>f'_-(0) = -1 \leqslant 0</math> (при этом сама функция не является дифференцируемой в точке <math>x = 0</math>).
- Пусть <math>f(x) = x^2</math>. Тогда <math>x = 0</math> — точка локального минимума, и
- <math>f'(0) = 0</math>.
- Пусть <math>f(x) = x^3</math>. Тогда
- <math>f'(0) = 0</math>,
- но точка <math>x = 0</math> не является точкой локального экстремума.
См. также
Примечания
