Русская Википедия:Лемма Шварца

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Лемма Шварца — классический результат комплексного анализа о гармонических отображениях из круга в себя.

Названа в честь Карлa Шварцa.

Формулировка

Пусть <math>\Delta=\{z:|z|<1\}</math> — единичный круг на комплексной плоскости <math>\mathbb C</math>. Далее, пусть функция <math>f</math> аналитична в <math>\Delta</math> и удовлетворяет двум условиям:

  1. <math>f(0)=0</math>;
  2. <math>f(\Delta)\subset\overline\Delta</math>, или, что равносильно, <math>|f(z)|\leqslant 1</math>.

Тогда:

  1. <math>|f(z)|\leqslant|z|</math> в <math>\Delta</math>;
  2. <math>|f'(0)|\leqslant 1</math>.

Более того, оба эти неравенства превращаются в равенства тогда и только тогда, когда функция имеет вид <math>f(z)=e^{i\varphi}z</math> , то есть она сводится к повороту. Идея доказательства в том, что функция <math>f(z)/z</math> будет аналитичной при <math>|z|<1</math> и применения к ней принципа максимума для гармонических функций.

Вариации и обобщения

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Лемма_Шварца&oldid=10259681