Русская Википедия:Лемма Шура
Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп.
Формулировка леммы
Представление группы <math>G</math> автоморфизмами некоторого векторного пространства <math>GL(V)</math> <math>\sigma: G\to GL(V)</math> называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного относительно <math>\sigma</math> подпространства отличного от 0 и самого <math>V</math>.
Лемма Шура: Пусть <math>f</math> — линейное отображение векторных пространств <math>f:V_1\to V_2</math> над некоторым полем <math>K</math> такое, что существуют два неприводимых представления <math>\sigma: G\to GL(V_1)</math> и <math>\tau: G\to GL(V_2)</math>, такие, что <math>\tau_g f =f\sigma_g</math> для всех <math>g</math>. Тогда:
1)Если <math>f</math> не является изоморфизмом, то <math>f</math> — нулевое отображение.
2)Если <math>V_1=V_2</math> конечномерны над алгебраически замкнутым полем <math>K</math> и <math>\sigma=\tau</math>, то <math>f</math> является умножением на некоторый элемент поля <math>f:x\to\lambda x</math>.
Доказательство
Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:
Пусть <math>E</math> и <math>F</math> модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм <math> f: E \rightarrow F </math> является либо нулевым, либо изоморфизмом на <math>F</math>.
В самом деле, так как <math>\mathrm{Ker}\, f</math> и <math>\mathrm{Im}\, f</math> являются подмодулями, то если <math>f</math> ненулевой гомоморфизм, имеем <math>\mathrm{Ker}\, f = 0</math>, а <math>\mathrm{Im}\, f = F</math>, то есть <math>f</math> — изоморфизм на весь модуль <math>F</math>.
Теперь определим групповое кольцо <math>K[G]</math>. Элементами этого кольца будут линейные комбинации <math>k_1g_1+k_2g_2+...+k_ng_n</math>. Умножение определяется <math>(k_1g_1)(k_2g_2)=(k_1k_2)(g_1g_2)</math> и далее по линейности. Ясно, что <math>K[G]</math> кольцо. На пространстве <math>V_1</math> определим умножение элемента из <math>K[G]</math> на элемент <math>x\in V_1</math>: <math>(k_1g_1+k_2g_2+...+k_ng_n)x=k_1\sigma_{g_1}x+k_2\sigma_{g_2}x+...+k_n\sigma_{g_n}x</math>. Тем самым мы превращаем <math>V_1</math> в модуль над кольцом <math>K[G]</math>. Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. <math>\sigma</math> является представлением. <math>V_2</math> аналогично, заменяя <math>\sigma</math> на <math>\tau</math>, будет модулем над <math>K[G]</math>, а равенство <math>\tau_g f=f\sigma_g</math> то, что отображение <math>f</math> является гомоморфизмом модулей. Так как <math>\sigma</math> и <math>\tau</math> неприводимы, а это означает простоту <math>V_1</math> и <math>V_2</math> как модулей над <math>K[G]</math>, то первая часть леммы доказана.
Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного вектора <math>x\neq 0</math> для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значению <math>\lambda</math>, <math>f(x)=\lambda x</math>. Для любого элемента <math>g\in G</math> имеем <math>\sigma_g(f-\lambda\operatorname{id})=(f-\lambda\operatorname{id})\sigma_g</math>, причём для собственного вектора <math>(f-\lambda\operatorname{id})(x) = 0,</math> следовательно <math>f-\lambda\operatorname{id}</math> по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, <math>f</math> является умножением на некоторое <math>\lambda</math>.
Литература
