Русская Википедия:Лемма Шуры-Буры
Лемма Шуры-Буры — принятое в научной школе П. С. Александрова название для следующего элементарного утверждения общей топологии, касающегося свойств компактных пространств:
- Пусть <math>U</math> — открытое подмножество компактного пространства <math>X</math>, а <math>\{F_s\}_{s\in S}</math> — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства. Если <math>\bigcap_{s\in S}F_s\subset U</math>, то существует конечное множество <math>\{s_1,s_2,\dots s_n\}\subset S</math>, такое, что <math>\bigcap_{i=1}^n F_{s_i}\subset U</math>.
Более краткая формулировка леммы Шуры-Буры (в терминах неиндексированных семейств множеств):
- Пусть <math>U</math> — открытое подмножество компактного пространства <math>X</math>, а <math>\mathcal F</math> — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства, такое, что <math>\bigcap\mathcal F\subset U</math>. Тогда <math>\bigcap\mathcal F_0\subset U</math> для некоторого конечного подсемейства <math>\mathcal F_0\subset\mathcal F</math>.
Для доказательства леммы Шуры-Буры достаточно заметить, что семейство, состоящее из указанных в её формулировке множества <math>U</math> и из дополнений элементов семейства <math>\mathcal F</math>, является открытым покрытием пространства <math>X</math> и извлечь из этого покрытия конечное подпокрытие.
Свойство, указанное в лемме Шуры-Буры, на самом деле характеризует компактные пространства.[1]
Обобщения леммы Шуры-Буры
Лемму Шуры-Буры можно обобщить на произвольные (не обязательно компактные) пространства, потребовав, чтобы рассматриваемое в ней семейство замкнутых множеств содержало хотя бы одно компактное[2]:
- Пусть <math>U</math> — открытое подмножество пространства <math>X</math>, а <math>\mathcal F</math> — некоторое семейство замкнутых подмножеств этого пространства, хотя бы одно из которых компактно, причём <math>\bigcap\mathcal F\subset U</math>. Тогда <math>\bigcap\mathcal F_0\subset U</math> для некоторого конечного подсемейства <math>\mathcal F_0\subset\mathcal F</math>.
В предположении хаусдорфовости лемма Шуры-Буры допускает следующее существенное усиление[3]:
- Пусть <math>U</math> — открытое подмножество хаусдорфова пространства <math>X</math>, а <math>\mathcal F</math> — некоторое семейство компактных подмножеств этого пространства, такое, что <math>\bigcap\mathcal F\subset U</math>. Тогда найдутся конечное семейство <math>\{\,F_1,F_2,\dots,F_n\,\}\subset\mathcal F</math> и конечное семейство <math>\{\,V_1,V_2,\dots,V_n\,\}</math> открытых в <math>X</math> множеств, обладающие следующими свойствами:
а) <math>F_i\subset V_i</math> для <math>i=1,2,\dots,n</math>;
б) <math>\bigcap_{i=1}^n V_i\subset U</math>.
- Пусть <math>U</math> — открытое подмножество хаусдорфова пространства <math>X</math>, а <math>\mathcal F</math> — некоторое семейство компактных подмножеств этого пространства, такое, что <math>\bigcap\mathcal F\subset U</math>. Тогда найдутся конечное семейство <math>\{\,F_1,F_2,\dots,F_n\,\}\subset\mathcal F</math> и конечное семейство <math>\{\,V_1,V_2,\dots,V_n\,\}</math> открытых в <math>X</math> множеств, обладающие следующими свойствами:
Лемма Шуры-Буры и компоненты связности компакта
Лемма Шуры-Буры закрепилась как отдельное утверждение с данным названием в монографиях П. С. Александрова[4][5], где оно использовалось в качестве вспомогательного для доказательства следующей фундаментальной теоремы, принадлежащей М. Р. Шуре-Буре (1941)[6]:
- Компонента связности каждой точки хаусдорфова компактного пространства совпадает с её квазикомпонентой[7].
Некоторые авторы называют эту последнюю теорему также «леммой Шуры-Буры»[8]. Для случая метрических компактов она была ранее доказана Ф. Хаусдорфом (1914)[9].
Примечания
- ↑ Действительно, пусть некоторое топологическое пространство <math>X</math> обладает указанным в формулировке леммы Шуры-Буры свойством. Докажем, что это пространство компактно. Пусть <math>\mathcal V</math> — произвольное его открытое покрытие. Предполагая непустоту семейства <math>\mathcal V</math>, выберем произвольное <math>U\in\mathcal V</math>.
Положим <math>\mathcal F=\{\,X\setminus V:V\in\mathcal V,\ V\neq U\,\}</math>; тогда <math>\bigcap\mathcal F\subset U</math> (поскольку <math>\mathcal V</math> — покрытие). Следовательно, найдется конечное <math>\mathcal F_0\subset\mathcal F</math>, для которого <math>\bigcap\mathcal F_0\subset U</math>. Легко видеть, что семейство открытых множеств, состоящее из <math>U</math> и дополнений элементов семейства <math>\mathcal F_0</math>, является конечным подсемейством семейства <math>\mathcal V</math>, покрывающим пространство <math>X</math>. - ↑ См., например, Шаблон:Книга, Следствие 3.1.5 (С. 197).
- ↑ См., например Шаблон:Книга, лемма 2.4.6. В этой книге отмечено, что данное утверждение принадлежит топологическому фольклору.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ М. Р. Шура-Бура. К теории бикомпактных пространств. — Матем. сб., 1941, 9(51):2, 385—388, Теорема I. В этой оригинальной работе «лемма Шуры-Буры» не сформулирована в качестве отдельного утверждения, но доказана неявно.
- ↑ Компонента (компонента связности) точки топологического пространства — это наибольшее связное подпространство этого пространства, содержащее данную точку; квазикомпонента — пересечение всех открыто-замкнутых подмножеств этого пространства, содержащих данную точку. Компонента каждой точки топологического пространства содержится в её квазикомпоненте. Обратное, вообще говоря, неверно (даже в случае локально компактных подпространств обычной евклидовой плоскости — см. Энгелькинг (loc. cit.), пример 6.1.24), однако в компактах (то есть компактных хаусдорфовых пространствах) компоненты точек совпадают с квазикомпонентами, как гласит указанная теорема. См. также её доказательство в цитированных книгах П. С. Александрова и Р. Энгелькинга.
- ↑ См., например, М. В. Келдыш. Отзыв о научной деятельности М. Р. Шура-Бура (1968) Шаблон:Wayback; Д. К. Мусаев. — О характеризации полных отображений посредством морфизмов в нульмерные. — Матем. тр., 7:2 (2004), 72—97.
- ↑ Шаблон:Книга
