Русская Википедия:Лемма о руке
Лемма о руке — лемма в доказательстве теоремы Коши о многогранниках.
Неформально утверждение можно описать следующим образом: Представьте себе руку робота, состоящую из нескольких звеньев, соединённых суставами. Каждое звено — это отрезок, а вся рука — ломаная. Пусть вся рука робота может двигаться в одной плоскости. Предположим, в изначальном состоянии рука робота образует выпуклую ломаную, то есть такую ломаную, что если мы соединим концы ломаной, то получим выпуклый многоугольник. Допустим теперь, что робот увеличивает угол в каждом суставе. Лемма утверждает, что тогда увеличится и расстояние между началом и концом руки.
Несмотря на простоту формулировки, доказательство леммы не просто. В частности, именно в этом месте оригинальное доказательство Коши имеет ошибку. Эта ошибка оставалась незамеченной более ста лет. Она была замечена Эрнстом Штейницем, видимо, между 1920 и 1928 годами и исправлена только в 1934[1].
Формулировка
Предположим, <math>A_1A_2\dots A_n</math> выпуклый многоугольник на евкидовой плоскости и <math>B_1B_2\dots B_n</math> ломаная в плоскости или пространстве такая, что
- <math>A_iA_{i+1}=B_iB_{i+1}</math> при <math>i<n</math>,
- <math>\measuredangle A_{i-1}A_iA_{i+1}\le\measuredangle B_{i-1}B_iB_{i+1}</math> при <math>1<i<n</math>.
Тогда
- <math>A_1A_n\le B_1B_n.</math>
Более того, в случае равенства ломаные <math>A_1A_2\dots A_n</math> и <math>B_1B_2\dots B_n</math> конгруэнтны.
Вариации и обобщения
- Аналогичный результат верен на сфере и плоскости Лобачевского.
- Более того, лемма естественно обобщается на CAT(κ) пространства.[2]
- Теорема Залгаллера. Если у двух сферических <math>n</math>-гольников <math>A</math> и <math>B</math> соответственные стороны равны и многоугольник <math>A</math> лежит в полусфере, то хотя бы один из углов <math>B</math> не меньше соответственного угла <math>A</math>.[3]
- Лемма о согнутом луке[4] (или теорема Шура) — версия леммы о руке для гладких кривых:[5]
- Пусть <math>\gamma</math> и <math>\tilde\gamma</math> — пара гладких кривых пареметризованных длиной определённых на одном и том же интервале <math>[a,b]</math>. Предположим, что для любого <math>t</math> выполняется неравенство <math>\kappa_\gamma(t)\le \kappa_{\tilde\gamma}(t)</math>, где <math>\kappa_\gamma(t)</math> и <math>\kappa_{\tilde\gamma}(t)</math> обозначает кривизну <math>\gamma</math> и соответственно <math>\tilde\gamma</math> при <math>t</math>. Далее предположим, что <math>\tilde\gamma</math> есть дуга плоской выпуклой кривой, то есть она проходит вдоль границы некоторой выпуклой плоской фигуры. Тогда расстояние между концами <math>\gamma</math> не превосходит расстояния между концаму <math>\tilde\gamma</math>; то есть,
- <math>|\gamma(b)-\gamma(a)|\ge |\tilde\gamma(b)-\tilde\gamma(a)|.</math>
- Пусть <math>\gamma</math> и <math>\tilde\gamma</math> — пара гладких кривых пареметризованных длиной определённых на одном и том же интервале <math>[a,b]</math>. Предположим, что для любого <math>t</math> выполняется неравенство <math>\kappa_\gamma(t)\le \kappa_{\tilde\gamma}(t)</math>, где <math>\kappa_\gamma(t)</math> и <math>\kappa_{\tilde\gamma}(t)</math> обозначает кривизну <math>\gamma</math> и соответственно <math>\tilde\gamma</math> при <math>t</math>. Далее предположим, что <math>\tilde\gamma</math> есть дуга плоской выпуклой кривой, то есть она проходит вдоль границы некоторой выпуклой плоской фигуры. Тогда расстояние между концами <math>\gamma</math> не превосходит расстояния между концаму <math>\tilde\gamma</math>; то есть,
- (Лемма верна если <math>\gamma</math> есть кривая в евклидовом пространстве произвольной размерности.)
См. также
Примечания
Литература
- И. Х. Сабитов, Вокруг доказательства леммы Лежандра — Коши о выпуклых многоугольниках Сиб. матем. журн., 2004, том 45, № 4, с. 892—919
- Лекция 24 в Шаблон:Книга
- ↑ Steinitz E., Rademacher H. Vorlesungen ̈uber die Theorie der Polyeder. Berlin: Springer-Verl., 1934.
- ↑ см. 9.63 в Шаблон:Cite arXiv.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Schur, Axel; Über die Schwarzsche Extremaleigenschaft des Kreises unter den Kurven konstanter Krümmung. Math. Ann. 83 (1921), no. 1-2, 143–148.
