Русская Википедия:Лента Мёбиуса
Ле́нта Мёбиуса (лист Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство <math>\R^3</math>.
Считается, что лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году, хотя похожая структура изображена на римской мозаике III века нашей эры[1][2].
Модель ленты Мёбиуса можно легко сделать: надо взять достаточно длинную бумажную полоску и склеить противоположные концы полоски в кольцо, предварительно перевернув один из них. В трёхмерном евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.
Эйлерова характеристика листа Мёбиуса равна нулю.
Уравнения
Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества <math>\R^3</math> является параметризация:
- <math> x \left( u, v \right) = \left( 1 +\frac {v} {2} \cos\frac {u} {2} \right) \cos u, </math>
- <math> y \left( u, v \right) = \left( 1 +\frac {v} {2} \cos\frac {u} {2} \right) \sin u, </math>
- <math> z \left( u, v \right) = \frac {v} {2} \sin\frac {u} {2}, </math>
где <math> 0\leqslant u <2\pi </math> и <math>-1\leqslant v\leqslant 1 </math>. Эти формулы задают ленту Мёбиуса шириныШаблон:Nbsp1, чья центральная окружность имеет радиусШаблон:Nbsp1, лежит в плоскости <math>xy</math> с центром в <math>\left( 0,\;0,\;0 \right)</math>. Параметр <math>u</math> пробегает вдоль ленты, а <math>v</math> задает расстояние от края.
В цилиндрических координатах <math>\left( r,\;\theta,\;z \right)</math> неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:
- <math>\log r \sin \frac{\theta}{2} = z \cos \frac{\theta}{2}, </math>
где логарифм имеет произвольное основание.
Свойства
- Граница листа Мёбиуса состоит из одной замкнутой кривой.
- Топологически лист Мёбиуса может быть определён как факторпространство квадрата <math>\left[ 0,\;1 \right] \times \left[ 0,\;1 \right]</math> по отношению эквивалентности <math>\left( x,\;0 \right) \sim \left( 1-x,\;1 \right)</math> для <math>0\leqslant x\leqslant 1</math>.
- Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью со слоем отрезок.
- Ленту Мёбиуса возможно поместить в <math>\R^3</math> с границей, являющейся идеальной окружностью. Один из способов — применить стереографическую проекцию к бутылке Клейна, погруженной в трёхмерную сферу. Идея состоит в следующем: пусть <math>C</math> будет единичным кругом в плоскости <math>xy</math> в <math>\R^3</math>. Соединив антиподные точки на <math>C</math> (то есть точки под углами <math>\theta</math> и <math>\theta + \pi</math>) дугой круга, получим, что для <math>\theta</math> между <math>0</math> и <math> \pi/2 </math> дуги лежат выше плоскости <math>xy</math>, а для других <math>\theta</math> — ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости <math>xy</math>).Шаблон:Нет АИ
- Тем не менее любой диск, который приклеивается к граничной окружности, неизбежно пересечёт ленту Мёбиуса.
- Примером вложения листа Мебиуса в <math>\Complex^2</math> является поверхность, заданная уравнением
- <math>z_1 = \sin\eta\,e^{i\varphi}</math>
- <math>z_2 = \cos\eta\,e^{i\varphi/2},</math>
- Здесь параметр <math>\eta</math> изменяется от 0 до <math>\pi</math>. Границей этой поверхности является окружность <math>z_1 = 0, |z_2| = 1</math>. При стереографической проекции получается вложение в <math>\R^3</math> с границей, в точности являющейся окружностью.
Открытые вопросы
- Каково минимальное <math>k</math> такое, что из прямоугольника с меньшей сторонойШаблон:Nbsp1 и большей сторонойШаблон:NbspШаблон:Math можно свернуть несамопересекающуюся ленту Мёбиуса (бумагу мять не разрешается)? Доказанная оценка снизу — <math>\frac{\pi}{2}</math>, сверху — <math>\sqrt 3 </math>[3].
- Существует ли формула, описывающая лист Мёбиуса, получающийся путём складывания плоского листа бумаги? Вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну; спрашивается, можно ли аналогичным образом описать поверхность нулевой кривизны?[4]
- Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Решение этой задачи, впервые поставленной Садовским (M.Шаблон:NbspSadowsky) в 1930 году, было опубликовано в 2007 году[5]. Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы Шаблон:Iw.
Если ленту разрезать
- Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двусторонняя (закрученная на полный оборот) лента. Это свойство ленты Мёбиуса используется в старинном фокусе под названием «афганские ленты»[6] (Шаблон:Lang-en) с 1904 года[7], его также описывают Норберт Винер в книге I Am a Mathematician (1956)[8] и Мартин Гарднер в книге Mathematics, Magic and Mystery (1956), последний также утверждает, что самая ранняя ссылка на использование ленты Мёбиуса для фокусов относится к 1882 году[9]. Если получившуюся ленту разрезать вдоль посередине, получаются две такие ленты, намотанные друг на друга.
- Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами[10].
- Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.
Искусство и технология
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — «Лист МёбиусаШаблон:NbspII»[11], показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.
Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена мрака». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора [[Дейч, Армин|А.Шаблон:NbspДж.Шаблон:NbspДейча]], бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М.Шаблон:NbspКлифтона «На ленте Мёбиуса».
В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова[12] в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976)[13].
Иногда считается, что лента Мёбиуса является прообразом символа бесконечности <math> \infty </math>, однако последний появился на два века раньше[14].
Вариации и обобщения
- Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
- Другое похожее многообразие — проективная плоскость. Если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость.
См. также
Примечания
Литература
- Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.
- Гарднер М. Математические чудеса и тайны.— М.: Наука, 1978.
Ссылки
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ ФуксШаблон:NbspД. Лента Мёбиуса. Вариации на старую тему Шаблон:Wayback // «Квант», № 1, 1979.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга В русском переводе: Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ КордемскийШаблон:NbspБ. А. Топологические опыты своими руками Шаблон:Wayback // «Квант», № 3, 1974
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
Шаблон:Выбор языка Шаблон:Компактные топологические поверхности
