Русская Википедия:Линейная интерполяция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:LinearInterpolation.svg

Через две заданные красные точки принадлежащие интерполируемой функции проведена синяя линия — график интерполирующей функции (линейный интерполянт), значение <math>y</math> в произвольной точке <math>x,</math> принадлежащей отрезку, можно найти с помощью формулы линейной интерполяции

Лине́йная интерполя́ция — интерполяция алгебраическим двучленом <math>P_1(x) = ax + b</math> функции <math>f(x),</math> заданной в двух точках <math>x_0</math> и <math>x_1</math> отрезка <math>[a, b]</math>.

В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией.

Формула линейной интерполяции является частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа и интерполяционной формулы Ньютона.

Геометрическая интерпретация

Геометрически это означает замену графика функции <math>f(x)</math> прямой, проходящей через точки <math>\left[x_0, f(x_0)\right]</math> и <math>\left[x_1, f(x_1)\right]</math>.

Уравнение такой прямой имеет вид:

<math>\frac{y - f(x_0)}{f(x_1) - f(x_0)} = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0},</math>

отсюда для <math>x \in [x_0, x_1]:</math>

<math>f(x) \approx y = P_1(x) =</math>

<math> = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x - x_0).</math>

Это и есть формула линейной интерполяции, при этом:

<math>f(x) = P_1(x) + R_1(x),</math>

где <math>R_1(x)</math> — погрешность формулы линейной интерполяции.

Если интерполируемая функция <math>f(x)</math> имеет непрерывную вторую производную на отрезке интерполяции, то:

<math>R_1(x) = \frac{f(\psi)}{2}(x - x_0)(x - x_1),\quad \psi \in [x_0, x_1]</math>

При этом, исходя из теоремы Ролля, справедлива оценка ошибки интерполяции:

<math>|R_1(x)|\leqslant \frac{M_2}{2} \max |(x - x_0)(x - x_1)| = \frac{M_2 h^2}{8};</math>

<math>M_2 = \max_{[x_0,x_1]} |f(x)|;\quad h = x_1 - x_0.</math>

Применение

Файл:Lin interp w-legend.png

На графике — пример кусочно-линейной интерполяции — график заданной функции приближённо представлен в виде ломаной линии

Линейная интерполяция применяется для сокращения размера таблиц таблично заданных функций, при этом значения функции заданы в сокращённом количестве точек, а её значения в точках, отсутствующих в таблице, вычисляются по формуле линейной интерполяции.

Другой пример применения линейной интерполяции — приближенное представление данных в виде кусочно-линейной функции.

См. также

• Билинейная интерполяция
• Интерполяция алгебраическими многочленами
• Обратная матрица