Русская Википедия:Линейная функция
Линейная функция — функция вида
- <math> y =kx+b</math> (для функций одной переменной).
Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.
Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.
- В случаях <math>b=0</math> линейные функции называются однородными (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от <math>b \neq 0</math> — неоднородных линейных функций.
Свойства
- <math>k</math> (угловой коэффициент прямой) является тангенсом угла <math>\alpha \in \left[0; \frac {\pi}{2}\right) \cup \left(\frac {\pi}{2}; \pi\right),</math> который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, и может быть найден по формуле <math>k = \mathrm{tg}\,\alpha = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}</math>.
- При <math>k>0</math>, прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
- При <math>k<0</math>, прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
- При <math>k=0</math>, прямая параллельна оси абсцисс.
Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями <math> y =k_1x+b_1, </math> и <math> y =k_2x+b_2, </math> определяется равенством: <math>\mathrm{tg}\,\alpha = \left | \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right |,</math> где <math>k_1 k_2 \neq -1,</math> то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при <math>k_1 = k_2, ~ \alpha = 0</math> и прямые параллельны.
- <math>b</math> является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
- При <math>b=0</math>, прямая проходит через начало координат.
Линейная функция монотонна и невыпукла на всей области определения <math>(\mathbb R)</math>, производная <math>f'(x)</math> и первообразная <math>F(x)</math> функции <math>f(x) = kx + b</math> запишутся:
- <math>f'(x) = k</math>
- <math>F(x) = \frac{kx^2}{2} + bx + C</math>
Обратная функция к <math>f(x)</math> : <math>f^{-1}(x)= \frac{1}{k}\,x- \frac{b}{k}</math>
Линейная функция нескольких переменных
Линейная функция <math>n</math> переменных <math>x=(x_1,x_2,\dots,x_n)</math> — функция вида
- <math>f(x)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n</math>
где <math>a_0,a_1,a_2,\dots,a_n</math> — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё <math>n</math>-мерное пространство переменных <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math> вещественных или комплексных. При <math>a_0=0</math> линейная функция называется однородной, или линейной формой.
Если все переменные <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math> и коэффициенты <math>a_0,a_1,a_2,\dots,a_n</math> — вещественные числа, то графиком линейной функции в <math>(n+1)</math>-мерном пространстве переменных <math>x_1,x_2,\dots,x_n, y</math> является <math>n</math>-мерная гиперплоскость
- <math>y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n</math>
в частности при <math>n=1</math> — прямая линия на плоскости.
Абстрактная алгебра
Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства <math>X</math> над некоторым полем <math>K</math> в это поле, то есть для такого отображения <math>f: X\to K</math>, что для любых элементов <math>x,y\in X</math> и любых <math>\alpha,\beta\in K</math> справедливо равенство
- <math>f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)</math>
причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.
Алгебра логики
Шаблон:Main Булева функция <math>f(x_1, x_2, \dots, x_n)</math> называется линейной, если существуют такие <math>a_0, a_1, a_2, \dots, a_n</math>, где <math>a_i \in \{0, 1\}, \forall i=\overline{1,n}</math>, что для любых <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> имеет место равенство:
- <math>f(x_1, x_2, \dots, x_n) = a_0\oplus a_1\cdot x_1\oplus a_2\cdot x_2 \oplus\dots\oplus a_n\cdot x_n</math>.
Нелинейные функции
Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.
Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция <math>y=x^2</math>.
В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям <math>f=k x+b</math>, где <math>b\neq 0</math>, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае <math>f(x_1 + x_2) \neq f(x_1) + f(x_2)</math> и <math>f(c x) \neq c f(x)</math>. Например, нелинейной зависимостью считают <math>\sigma (\tau)</math> для материала с упрочнением (см. теория пластичности).
См. также
