Русская Википедия:Линейность по параметрам

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Лине́йность по пара́метрам — свойство экономических моделей, позволяющее рассматривать их с эконометрической точки зрения (с точки зрения оценки параметров) как линейные модели.

Определение

Модель <math>g_0(y)=f(x,b)+\varepsilon</math> называется линейной по параметрам <math>b</math>, если функция регрессии <math>f(x, b)</math> обладает свойством:

<math>\forall j~~\frac {\partial f } {\partial b_j}=g_j(x)</math>

где <math>g_0, g_j</math> — некоторые (вообще говоря — нелинейные) функции, не содержащие неизвестных параметров

Поскольку вторые и более высокого порядка производные по параметрам равны в этом случае нулю, то разложение функции регрессии в ряд Тейлора по параметрам приводит к следующему линейному представлению:

<math>f(x,b)=\sum^k_{j=1} b_j g_j(x)+\varepsilon</math>

Если обозначить <math>z_0=g_0(y)~,~z_j=g_j(x)</math>, то получаем обычную линейную регрессию относительно новых переменных.

<math>z_0=\sum^k_{j=1} b_j z_j+\varepsilon</math>

Линеаризация

Многие нелинейные модели можно представить в форме, линейной по параметрам. Соответствующий процесс преобразования модели называется линеаризацией. Для линеаризации может использоваться логарифмирование и иные приёмы. Пусть имеется следующая нелинейная модель (производственная функция Кобба — Дугласа):

<math>y=A K^{\alpha} L^{\beta} \nu</math>

где <math>\nu</math> — мультипликативная случайная компонента.

Логарифмируя это выражение, получим линейную по параметрам модель:

<math>\ln y =\ln A +\alpha \ln K +\beta \ln L + \ln \nu=a+\alpha \ln K +\beta \ln L + \varepsilon</math>

Важно отметить, что линеаризуемость модели связана также со способом присоединения случайной компоненты в исходной модели. Например, модель <math>y=A K^{\alpha} L^{\beta} +\varepsilon</math> линеаризовать нельзя. Часто случайную ошибку присоединяют специально именно таким образом, чтобы модель можно было линеаризовать.

Примеры

Полиномиальная модель

<math>y=\sum^k_{j=0} b_j x^j + \varepsilon</math>

Полиномиальные модели используются для предварительной аппроксимации данных исходя из известной теоремы о приближении любых функций полиномами.

Логарифмическая регрессия

<math>\ln y =\sum^k_{j=1} b_j \ln x_j + \varepsilon</math>

Это модель с постоянной эластичностью зависимой переменной по факторам.

Обратная линейная модель

<math>\frac {1} {y} = \sum^k_{j=0} b_j \frac {1}{x_j}+\varepsilon</math>