Русская Википедия:Линейный непрерывный оператор
Линейный непрерывный оператор <math>A:X\rightarrow Y</math>, действующий из линейного топологического пространства Шаблон:Mvar в линейное топологическое пространство Шаблон:Mvar — это линейное отображение из Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar, обладающее свойством непрерывности.
Термин «линейный непрерывный оператор» обычно употребляют в случае, когда Шаблон:Mvar многомерно. Если Шаблон:Mvar одномерно, т.е. совпадает с самими полем (<math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math>), то принято использовать термин линейный непрерывный функционал[1]. Множество всех линейных непрерывных операторов из Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar обозначается <math>L(X,Y)</math>.
В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по нижеизложенной причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.
Свойства
- Если Шаблон:Mvar конечномерно, то любой линейный оператор непрерывен.
- Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём Шаблон:Mvar).
- Шаблон:Anchor Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы) равносильны.[2]. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда.
- Если Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar — банаховы пространства, и образ оператора <math>A\in L(X,Y)</math> совпадает с пространством Шаблон:Mvar, то существует обратный оператор <math>A^{-1}\in L(Y,X)</math> (т.н. теорема об обратном операторе).
- Множество всех линейных непрерывных операторов из Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar само является линейным топологическим пространством. Если Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar нормированы, то <math>L(X,Y)</math> также нормировано операторной нормой. Если Шаблон:Mvar — банахово, то и <math>L(X,Y)</math> является таковым, независимо от полноты Шаблон:Mvar.
Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar. Например, если Шаблон:Mvar — конечномерное пространство, то оператор <math>A\in L(X,Y)</math> будет вполне непрерывным оператором, область его значений <math>R(A)</math> будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы[3].
Непрерывность и сходящиеся последовательности
Линейный оператор <math>A:X\rightarrow Y</math>, действующий из линейного топологического пространства Шаблон:Mvar в линейное топологическое пространство Шаблон:Mvar, непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности <math>\{x_n\}</math> точек Шаблон:Mvar, из <math>x_n\rightarrow x_0</math> следует <math>A x_n\rightarrow Ax_0</math>.
Пусть ряд <math>\sum\limits_{n=1}^\infty x_n=s</math> сходится и <math>A:X\rightarrow Y</math> — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство
- <math>\sum\limits_{n=1}^\infty Ax_n=As</math>.
Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах линейный оператор можно применять почленно.
Если Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:
- если <math>x_n\to x</math> слабо, то <math>Ax_n\to Ax</math> слабо.
Связанные определения
- Линейный оператор называется ограниченным снизу, если <math>\exist k>0,\forall x\in X, \|Ax\|\geq k\|x\|</math>.
См. также
Литература
Примечания
- ↑ Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Также, в конечномерном пространстве <math>X</math> с базисом <math>\{x_k\}_{k=1}^n</math>, линейный непрерывный оператор <math>A</math> можно представить в виде <math>Ax=f_1(x)x_1+f_2(x)x_2+\cdots+f_n(x)x_n,\forall x\in X</math>, где <math>f_k\in X^*</math> — функции из сопряжённого пространства.