Русская Википедия:Липшицево отображение
Липшицево отображение (липшицевское отображение[1], также <math>L</math>-липшицево отображение) — отображение, увеличивающее расстояние между образами точек не более чем в <math>L</math> раз, где <math>L</math> называется константой Липшица данной функции. Названо в честь Рудольфа Липшица.
Определение
Отображение <math>f</math> метрического пространства <math>(X,\;\rho_X)</math> в метрическое пространство <math>(Y,\;\rho_Y)</math> называется липшицевым, если найдётся такая константа <math>L</math> (константа Липшица этого отображения), что <math>\rho_Y(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;y)</math> при любых <math>x,\;y\in X</math>. Это условие называют условием Липшица. Отображение с <math>L=1</math> (1-липшицево отображение) называют также коротким отображением.
Липшицево отображение <math>f\colon X\to Y</math> называется билипшицевым, если у него существует обратное <math>f^{-1}\colon Y\to X</math>, которое также является липшицевым.
Отображение <math>f\colon X\to Y</math> называется колипшицевым, если существует константа <math>L</math> такая, что для любых <math>x\in X</math> и <math>y\in Y</math> найдётся <math>x'\in f^{-1}(y)</math> такое, что <math>\rho_Y(f(x),\;y)\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;x')</math>.
История
Отображения со свойством:
- <math>|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot}|x-y|^\alpha,\quad\alpha\leqslant 1</math>
впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при <math>\alpha=1</math>, а при <math>\alpha<1</math> — условием Гёльдера.
Свойства
- Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.
- Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.
- (Лемма о липшицевости) Непрерывно дифференцируемая функция на компактном подмножестве евклидова пространства удовлетворяет условию Липшица. Обратное утверждение не верно.
- Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
- Теорема Киршбрауна о продолжении утверждает, что любое <math>L</math>-липшицевское отображение из подмножества евклидова пространства в другое евклидово пространство может быть продолжено до <math>L</math>-липшицевского отображения на всё пространство.
Вариации и обобщения
- Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица эквивалентно условию <math>\omega(f,\;\delta)\leqslant L{\cdot}\delta</math>.
- Показатель Гёльдера
Примечания
Шаблон:Нет иллюстрации Шаблон:Нет ссылок
