Русская Википедия:Логистическое распределение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Вероятностное распределение {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}</math>|

 cdf        =<math>\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}</math>|
 mean       =<math>\mu</math>|
 median     =<math>\mu</math>|
 mode       =<math>\mu</math>|
 variance   =<math>\frac{\pi^2}{3} s^2</math>|
 skewness   =<math>0</math>|
 kurtosis   =<math>6/5</math>|
 entropy    =<math>\ln(s)+2</math>|
 mgf        =<math>e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)</math>
для <math>|s\,t|<1</math>, Бета-функция|
 char       =<math>e^{i \mu t}\,\mathrm{B}(1-ist,\;1+ist)</math>
для <math>|ist|<1</math>|

}}

Логисти́ческое распределе́ние в теории вероятностей и математической статистике — один из видов абсолютно непрерывных распределений. Формой напоминает нормальное распределение, но имеет более «тяжёлые» концы и больший коэффициент эксцесса.

Определение

Функция плотности

Функция плотности вероятности логистического распределения задаётся формулой:

<math>f(x; \mu,s) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}</math>

<math>=\frac{1}{4\,s} \;\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right).</math>

Альтернативная параметризация задается подстановкой <math>\sigma^2 = \pi^2\,s^2/3</math>. Тогда функция плотности имеет вид:

<math>g(x;\mu,\sigma) = f(x;\mu,\sigma\sqrt{3}/\pi) = \frac{\pi}{\sigma\,4\sqrt{3}} \,\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \,\frac{x-\mu}{\sigma}\right).</math>

Функция распределения

Кумулятивной функцией распределения является логистическая функция:

<math>F(x; \mu,s) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}</math>

<math>= \frac12 + \frac12 \;\operatorname{tanh}\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right).</math>

Квантили

Обратная функция к кумулятивной функции распределения (<math>F^{-1}</math>), обобщение logit-функции:

<math>F^{-1}(p; \mu,s) = \mu + s\,\ln\left(\frac{p}{1-p}\right).</math>

Моменты распределения

Математическое ожидание

<math>\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} {\frac{xe^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}} \! dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{4\,s} \;\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right)dx</math>

Подставляем: <math>u=\frac{(x-\mu)}{2s}, du=\frac{1}{2s} dx</math>

<math>\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\,s\,u+\mu}{2} \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du</math>

<math>\mathbb{E}[X]=s\int_{-\infty}^{\infty} u \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du + \frac{\mu}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du </math>

Справедливо равенство: <math>\int_{-\infty}^{\infty} u \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du = 0</math>

<math>\mathbb{E}[X]=\frac{\mu}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du = \frac{\mu}{2}\,2 = \mu</math>

Моменты высших порядков

Центральный момент n-го порядка может быть вычислен как:

<math>\begin{align}

   \mathbb{E}[(X-\mu)^n] 
     &= \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^n dF(x) = \int_0^1 \big(F^{-1}(p)-\mu\big)^n dp \\
     &= s^n \int_0^1 \Big[ \ln\!\Big(\frac{p}{1-p}\Big) \Big]^n \, dp. 
 \end{align}</math>

Интеграл может быть выражен через числа Бернулли:

<math>

\mathbb{E}[(X-\mu)^n] = s^n\pi^n(2^n-2)\cdot|B_n|.

 </math>

Литература

• N. Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8.
• Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd Ed. ed.). ISBN 0-471-58494-0.