Русская Википедия:Локальное кольцо
Локальное кольцо — кольцо, которое имеет относительно простую внутреннюю структуру и позволяет описывать «локальное поведение» функций на алгебраическом многообразии или обычном многообразии. Раздел коммутативной алгебры, изучающий локальные кольца и модули над ними, называется локальной алгеброй.
Определение
Кольцо R локально, если выполняется одно из следующих эквивалентных свойств:
- R имеет единственный максимальный левый идеал;
- R имеет единственный максимальный правый идеал;
- Множество необратимых элементов R замкнуто относительно сложения, и единица кольца не совпадает с нулем.
В этом случае единственный максимальный левый идеал совпадает с максимальным правым идеалом и состоит из всех необратимых элементов кольца. Обратно, если все необратимые элементы кольца образуют идеал, то этот идеал — максимальный, и других максимальных идеалов в кольце нет.
Примеры
- Все тела являются локальными кольцами, поскольку единственный собственный идеал в них — нулевой идеал.
- Важный класс локальных колец — кольца дискретного нормирования. В частности, все локальные области главных идеалов являются кольцами дискретного нормирования.
- Кольцо формальных степенных рядов от любого числа переменных локально.
- Локализация любого коммутативного кольца R по простому идеалу является локальным кольцом.
Ростки функций
Шаблон:Main Данный пример позволяет понять происхождение термина «локальный». Рассмотрим кольцо непрерывных действительнозначных функций, определённых в некоторой окрестности нуля. Введём на множестве таких функций отношение эквивалентности: две функции эквивалентны тогда и только тогда, когда их ограничения на некоторую окрестность нуля совпадают. Классы эквивалентности по этому отношению называются «ростками действительнозначных непрерывных функций в нуле», на ростках можно естественным образом ввести операции сложения и умножения, легко проверить, что ростки образуют кольцо.
Чтобы проверить, что это кольцо локально, опишем все его необратимые элементы. Очевидно, что росток функции f, такой что f(0) = 0, необратим. Обратно, если f(0) ≠ 0, то из непрерывности следует, что f(x) ≠ 0 в некоторой окрестности нуля. Возьмем функцию g(x) = 1/f(x), определенную в этой окрестности, её росток является обратным к ростку функции f, и потому росток функции f обратим. Значит, необратимыми являются только ростки функций таких, что f(0) = 0. Таким образом, сумма двух необратимых ростков необратима, следовательно, кольцо ростков локально.
В точности те же самые аргументы позволяют доказать, что росток непрерывных функций в точке произвольного топологического пространства, или гладких функций в точке гладкого многообразия, или рациональных функций в точке алгебраического многообразия являются локальными. Последний пример представляет большую важность в алгебраической геометрии. В частности, схемы, являющиеся обобщением алгебраических многообразий, определяются как локально окольцованные пространства с дополнительными свойствами.
Некоммутативные локальные кольца
Некоммутативные локальные кольца естественным образом появляются при изучении разложений модулей в прямую сумму. А именно, если кольцо эндоморфизмов модуля M локально, то M является неразложимым. Обратно, если M — неразложимый модуль конечной длины, то его кольцо эндоморфизмов локально.
Если k — поле ненулевой характеристики p и G — конечная p-группа, то групповое кольцо k[G] является локальным.
Локализация кольца по простому идеалу
Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, и <math>\mathfrak{p}</math> — простой идеал в нём. Множество <math>S_{\mathfrak{p}} = \{a\in R:\, a\notin \mathfrak{p}\}</math> — образует мультипликативную систему кольца R, соответствующую простому идеалу <math>\mathfrak{p}</math>.
Локализацией <math>R_{\mathfrak{p}}</math> кольца R по простому идеалу <math>\mathfrak{p}</math> называется кольцо частных <math>S_{\mathfrak{p}}^{-1}R</math> кольца R по мультипликативной системе <math>S_{\mathfrak{p}}</math>. Как и в общем случае кольца частных, определён канонический гомоморфизм <math>\pi_{\mathfrak{p}} </math> кольца R в <math>S_{\mathfrak{p}}^{-1}R</math> по формуле <math>\pi_{\mathfrak{p}}(r)=r/1</math>.
При этом все обратимые элементы в <math>R_{\mathfrak{p}}</math> имеют вид <math>s_1/s_2</math>, где оба элемента <math>s_1,s_2\in S_{\mathfrak{p}}</math>, а необратимые — имеют вид r/s, <math>r\in \mathfrak{p},\,s\in S_{\mathfrak{p}}</math> и образуют идеал <math>\mathfrak{m}</math>. Поскольку этот идеал содержит все необратимые элементы кольца <math>R_{\mathfrak{p}}</math>, он — максимальный идеал, а <math>R_{\mathfrak{p}}</math> — локальное кольцо.
См. также
Литература
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
