Русская Википедия:Локальное поле

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.

Определение

Локально компактное топологическое поле с недискретной топологией называется локальным.

Типы

Существует два основных вида локальных полей: те, в которых абсолютное значение архимедово, и те, в которых это не так. Первые называют архимедовыми локальными полями, а вторые — неархимедовыми локальными полями.

Любое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих полей:

• Архимедовы локальные поля (характеристика равна нулю): поле вещественных чисел <math>\R</math> и поле комплексных чисел <math>\Complex</math>.
• Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: р-адические числа <math>\Q_p</math> и их конечные расширения.
• Неархимедовы локальные поля характеристики <math>p\ne0</math>: формальные ряды Лорана над конечным полем <math>\mathbb{F}_{p^n}</math>. (Все их конечные расширения тоже изоморфны полям того же вида.)

Свойства

Общие свойства

• Аддитивная группа локального поля, как любая локально компактная топологическая группа, обладает единственной (с точностью до умножения на положительное число) мерой Хаара μ.
• На любом локальном поле <math>K</math> можно ввести абсолютную величину <math>|a|</math> такую, что

  <math>|a|=\frac{\mu(aX)}{\mu(X)}</math>

для некоторого (а значит и любого) измеримого подмножества <math>X\subset K</math> с ненулевой конечной мерой Хаара.

Неархимедовы поля

• В неархимедовом локальном поле <math>K</math> с абсолютной величиной <math>|{*}|</math> можно дать следующие определения:
  • Кольцо целых чисел

    <math>\mathcal{O} = \{a\in K: |a|\leqslant 1\}.</math>

    • Оно образует дискретное нормированное кольцо и компактный шар в <math>(K,|{*}|)</math>.
  • Единицы в кольце целых чисел определяются как <math>\mathcal{O}^\times = \{a\in K: |a|= 1\}</math>.
    • Они образуют группу и единичную сферу в <math>(K,|{*}|)</math>.
  • Единственный ненулевой простой идеал <math>\mathfrak{m}</math> в кольце целых чисел является открытым единичным шаром

    <math>\{a\in K: |a|< 1\},</math>

и его образующий элемент <math>\omega\in\mathfrak{m}</math> называется униформизирующим элементом <math>K</math>.

• Поле остатков <math>k=\mathcal{O}/\mathfrak{m}</math> является конечным, поскольку компактно и дискретно.
• При этом <math>|\omega|=\tfrac1{|k|}</math>, где <math>|k|</math> — мощность поля остатков <math>k</math>.

• Каждый ненулевой элемент <math>a\in K</math> можно записать как <math>a=\omega^n\cdot u</math>, где <math>u</math> — единичный элемент, <math>n</math> — целое число, определяемое однозначно по <math>a</math>.
  • В частности <math>|a|=|k|^{-n}=|\omega|^n.</math>

См. также

Глобальное поле