Русская Википедия:Локсодрома

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:KUGSPI-9 Loxodrome.gif
Локсодрома от полюса до полюса

Локсодрома, или локсодромия[1] (от Шаблон:Lang-grc — «косой», «наклонный» и Шаблон:Lang-grc2 — «путь»[2]) — кривая на поверхности вращения, пересекающая все меридианы под постоянным углом, называемым локсодромическим путевым углом.

История

Введена в рассмотрение португальским математиком Нониусом в 1529 году[3].

В труде «Tiphys batavus» (1624) нидерландский математик Виллеброрд Снелл пересекающую все меридианы под постоянным углом кривую назвал «локсодромой», исследовал её. Работа состояла из двух частей — теоретической и практических упражнений с рекомендациямиШаблон:Sfn.

В геодезии и картографии

На поверхности Земли локсодромами являются все параллели (путевой угол может быть равен 90°, 270° и т. д.) и все меридианы (путевой угол 0°, 180° и т. д.). Локсодромы под остальными углами являются спиралями, совершающими неограниченное число витков, приближаясь к полюсам. Тем не менее, если путешественник будет двигаться по любой локсодроме (кроме параллелей) с постоянной скоростью не останавливаясь, то он обязательно придёт к одному из полюсов за конечное время. Картографическая проекция, в которой все локсодромы изображены прямыми, называется проекцией Меркатора.

В навигации

Если передвигаться с фиксированным путевым углом по Земле, которую условно принять за сферу или геоид, то траектория движения объекта и будет локсодромией[4]. Локсодрома не является кратчайшим путём между двумя пунктами (исключение — меридианы и экватор). Тем не менее, в старину суда и путешественники нередко двигались по локсодромам, так как идти под постоянным углом к Полярной звезде проще и удобнее. С изобретением компаса мореплаватели перешли на движение по «магнитным локсодромам», то есть по линиям с постоянным углом к магнитному северу, что дало возможность продолжать движение и в облачную погоду. Но как только были выяснены магнитные склонения во всех местах Земли, люди вновь перешли на обычные локсодромы. Даже в XX веке локсодромия использовалась при расчёте требуемого курса при прокладке маршрута самолётов и морских судов. Со временем, когда появились приборы с достаточной вычислительной мощностью для вычисления текущего требуемого путевого угла, начали активно применять ортодромию (кратчайший путь), особенно для дальних маршрутов самолётов[5].

Построение локсодромы сферы

Файл:Loxodrome.png
Отрезок локсодромы, от экватора до полюса

Для того чтобы на полётных картах проложить локсодромический путь, необходимо соединить конечные точки маршрута прямой линией и измерить путевой угол у среднего меридиана. Точнее, локсодромический путевой угол рассчитывается как средний угол, снятый у начальной и конечной точек маршрута. После этого полученный путевой угол строят последовательно у всех меридианов на карте, начиная от пункта вылета. Полученная при построении ломаная линия практически близко подходит к локсодромии. Более точно локсодромический путевой угол <math>\alpha</math> может быть вычислен по формуле:

<math>\mathrm{tg} \alpha = \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\varphi_2 - \varphi_1} \cos \varphi_m</math>,

  • где <math>\alpha</math> — искомый путевой угол;
  • <math>\varphi_1</math> и <math>\varphi_2</math> — широты пунктов вылета и прибытия;
  • <math>\lambda_1</math> и <math>\lambda_2</math> — долготы этих пунктов;
  • <math>\varphi_m</math> — средняя широта перелёта.

Пример. Определить истинный локсодромический путевой угол <math>\alpha</math> при полёте из г. Реймса в г. Потсдам.

Решение. Определяем координаты:

 — Реймса <math>\varphi_1 = 49^\circ 15' = 2955'; \lambda_1 = 4^\circ 02'= 242';</math>
 — Потсдама <math>\varphi_2 = 52^\circ 24' = 3144'; \lambda_2 = 13^\circ 04' = 784';</math>

средняя широта <math>\varphi_m= 50^\circ 50'</math>; <math>\cos 50^\circ 50' = 0{,}6316</math>. Следовательно,

<math>\mathrm{tg} \alpha = \frac{784-242} {3144-2955}0{,}6316 = 1{,}806</math>,
<math>\alpha = 61^\circ</math>.

Полученный результат будет правильным, если конечная точка маршрута лежит в первой четверти (0 — 90°). Если конечная точка лежит во второй четверти (90° — 180°), искомый путевой угол получают, вычитая полученное число градусов из 180°. Если же конечная точка находится в третьей четверти (180° — 270°), к полученному углу прибавляют 180°, а если в четвёртой четверти (270° — 360°), то полученный угол вычитают из 360°.

Длина локсодромии в км определяется по формулам:

а) Для углов <math>\alpha</math>, близких к 0° или 180°,

<math>S \approx \frac{\varphi_2 - \varphi_1} {\cos \alpha} \cdot 1{,}852 </math>км,

где <math>\varphi_1</math> и <math>\varphi_2</math> — широты пунктов вылета и прибытия, выраженные в минутах, или

<math>S \approx \frac{\varphi_2 - \varphi_1} {\cos \alpha} \cdot 111{,}18 </math>км,

где <math>\varphi_1</math> и <math>\varphi_2</math> выражены в градусах.

б) Для углов <math>\alpha</math>, близких к 90° или 270°,

<math>S \approx \frac {\lambda_2-\lambda_1} {\sin \alpha} \cdot \cos \varphi_m \cdot 1{,}852</math>км.

Разность между длинами локсодромии и ортодромии DS достигает своей максимальной величины при полёте вдоль параллели.

Так, например, длина локсодромии между Реймсом и Потсдамом из предыдущего примера может быть приближённо вычислена по формуле:

<math>S \approx \frac{784-242}{\sin 61^\circ} \cdot 0{,}6316 \cdot 1{,}852 \approx 725</math>км.

Формулы в декартовых координатах

Параметрические формулы, задающие локсодрому с путевым углом <math>\alpha</math> на сфере радиуса <math>r</math> в декартовой системе координат, имеют вид:

<math>x=r\frac{\cos\lambda}{\mathrm{ch}[(\lambda-\lambda_0) \operatorname{ctg} \alpha ]};</math>
<math>y=r\frac{\sin\lambda}{\mathrm{ch}[(\lambda-\lambda_0) \operatorname{ctg} \alpha ]};</math>
<math>z=r\,\mathrm{th}[(\lambda-\lambda_0) \operatorname{ctg} \alpha ];</math>

где параметр <math>\lambda</math> изменяется от 0 до <math>2\pi</math> и является долготой точки. Здесь <math>\mathrm{ch}</math> и <math>\mathrm{th}</math> — гиперболические косинус и тангенс.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Wiktionary

Шаблон:Кривые

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Книга
  2. ↑ Исторический словарь галлицизмов русского языка. — М.: Словарное издательство ЭТС. Николай Иванович Епишкин. 2010
  3. ↑ Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. III, n. 39.
  4. ↑ Это нетрудно доказать, используя определения путевого угла и определение локсодромии.
  5. ↑ Для экономии топлива и сокращения времени в пути.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Локсодрома&oldid=10283687