Русская Википедия:Лоренцево сокращение
Шаблон:СТО с блоками Лоренцево сокращение, Фицджеральдово сокращение, также называемое релятивистским сокращением длины движущегося тела или масштаба, — предсказываемый релятивистской кинематикой эффект, заключающийся в том, что с точки зрения наблюдателя движущиеся относительно него предметы и пространство имеют меньшую длину (линейные размеры) в направлении движения, чем их собственная длина. Множитель, выражающий кажущееся сжатие размеров, тем сильнее отличается от 1, чем больше скорость движения предмета.
Эффект значим, только если скорость предмета по отношению к наблюдателю сравнима со скоростью света.
Строгое определение
Пусть стержень покоится в инерциальной системе отсчёта K и расстояние между концами стержня, измеренное в К («собственная» длина стержня), равно l. Пусть далее стержень движется вдоль своей длины со скоростью v относительно некой другой (инерциальной) системы отсчёта K'. В таком случае расстояние l' между концами стержня, измеренное в системе отсчета K', составит
- <math> l' = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\ l</math> , где c — скорость света.
При этом расстояния поперёк движения одинаковы в обеих системах отсчета K и K'.
Величина Шаблон:Math, обратная множителю с корнем, называется также Лоренц-фактором. С её использованием эффект можно сформулировать и так: время пролёта стержня мимо фиксированной точки системы отсчёта K' составит
- <math> T' = \frac {1}{\gamma} \frac l v</math> .
Вывод
Преобразования Лоренца
Сокращение длины может быть выведено из преобразований Лоренца несколькими способами:
- <math>\begin{align}
x' & =\gamma\left(x-vt\right),\\ t' & =\gamma\left(t-vx/c^{2}\right). \end{align}</math>
Через известную длину движущегося объекта
Пусть в инерциальной системе отсчета К <math>x_{1}</math> и <math>x_{2}</math> обозначают концы движущегося объекта. Тогда его длина <math>L</math> определяется через одновременное положение концов <math>t_{1}=t_{2}</math>. Собственную длину объекта в К'-системе можно рассчитать через преобразования Лоренца. Преобразование временных координат из К в К' приводит к различающемуся времени. Но это не проблема, так как объект покоится в К'-системе, и не имеет значения, в какой момент времени произведены измерения. Поэтому достаточно сделать преобразования пространственных координат, что дает:[1]
- <math>x'_{1}=\gamma\left(x_{1}-vt_{1}\right), x'_{2}=\gamma\left(x_{2}-vt_{2}\right).</math>
Поскольку <math>t_{1}=t_{2}</math>, то, положив <math>L=x_{2}-x_{1}</math> и <math>L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}</math>, собственная длина в К'-системе, получается
- <math>L_{0}^{'}=L\cdot\gamma. \qquad \qquad \text{(1)},</math>
В соответствии с этим измеренная длина в К-системе получается уменьшенной
- <math>L=L_{0}^{'}/\gamma. \qquad \qquad \text{(2)}</math>
В соответствии с принципом относительности объекты, покоящиеся в К-системе, будут также уменьшены в К'-системе. Поменяв симметрично нештрихованные и штрихованные обозначения:
- <math>L_{0}=L'\cdot\gamma. \qquad \qquad \text{(3)}</math>
Тогда уменьшенная длина, измеряемая в К'-системе:
- <math>L'=L_{0}/\gamma.\qquad \qquad \text{(4)}</math>
Через известную собственную длину
Если объект покоится в К-системе и известна его собственная длина, то одновременность измерений концов объекта в К'-системе необходимо рассчитать, потому что объект постоянно меняет свою позицию. В таком случае необходимо преобразовать и пространственные, и временные координаты:[2]
- <math>\begin{align}
x_{1}^{'} & =\gamma\left(x_{1}-vt_{1}\right), & & & x_{2}^{'} & =\gamma\left(x_{2}-vt_{2}\right)\\ t_{1}^{'} & =\gamma\left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right), & & & t_{2}^{'} & =\gamma\left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right). \end{align}</math>
Так как <math>t_{1}=t_{2}</math> и <math>L_{0}=x_{2}-x_{1}</math>, получаемые результаты не одновременны:
- <math>\begin{align}
\Delta x' & =\gamma L_{0}\\ \Delta t' & =\gamma vL_{0}/c^{2} \end{align}</math>
Для получения одновременных положений концов необходимо вычесть из <math>\Delta x'</math> расстояние, пройденное вторым концом со скоростью <math>v</math> в течение времени <math>\Delta t'</math> :
- <math>\begin{align}
L' & =\Delta x'-v\Delta t'\\
& =\gamma L_{0}-\gamma v^{2}L_{0}/c^{2}\\
& =L_{0}/\gamma
\end{align}</math>
Таким образом, движущаяся длина в К'-системе уменьшилась. Точно так же можно рассчитать симметричный результат для объекта, покоящегося в К'-системе
- <math>L=L^{'}_{0}/\gamma</math>.
Объяснение
Сокращение длин возникает из-за свойств псевдоевклидовой геометрии пространства Минковского, аналогичных удлинению сечения, например, цилиндра, когда оно проводится не строго поперёк оси, а косо. Говоря иначе, «один и тот же момент времени» с точки зрения системы отсчёта, где стержень движется, не будет являться одним и тем же моментом с точки зрения системы отсчёта, связанной со стержнем.[3] То есть процедура измерения расстояния в одной системе отсчёта с точки зрения любой другой системы отсчёта является не процедурой измерения чистого расстояния, когда положения, например, концов стержня засекаются в один и тот же момент времени, а смесью измерения пространственного расстояния и промежутка времени, которые вместе составляют инвариантный, то есть не зависящий от системы отсчёта, пространственно-временной интервал.
Реальность сокращения длины
В 1911 году Шаблон:Не переведено 5 утверждал, что, согласно Лоренцу, сокращение длины воспринимается объективно, в то время как, по мнению Эйнштейна, это «всего лишь кажущееся субъективное явление, вызванное способом упорядочивания наших часов и измерением длин».[4][5] Эйнштейн опубликовал опровержение:
| « |
Автор необоснованно заявил о различии моих взглядов и взглядов Лоренца относительно физических фактов. Вопрос о том, действительно ли существует сокращение длины, только запутывает. Его «на самом деле» не существует, поскольку оно не существует для сопутствующего наблюдателя; хотя оно «действительно» существует, то есть в том смысле, что оно в принципе может быть продемонстрировано физическими средствами сторонним наблюдателем.[6] | » |
| — | ||
Эйнштейн также утверждал в этой статье, что сокращение длины — это не просто результат произвольных определений, касающихся способа упорядочивания часов и измерения длин. Он предложил следующий мысленный эксперимент: Пусть A'B' и A"B" будут концами двух стержней одинаковой длины L0, измеренных на x' и x" соответственно. Пусть они движутся в противоположных направлениях вдоль оси x*, рассматриваемой в состоянии покоя, с одинаковой по отношению к ней скоростью. Затем концевые точки A'A" встречаются в точке A*, а B'B" встречаются в точке B*. Эйнштейн показал, что длина A*B* короче, чем A'B 'или A''B'', что также можно продемонстрировать, остановив один из стержней по отношению к этой оси.[6]
Значение для физики
Лоренцево сокращение лежит в основе таких эффектов, как парадокс Эренфеста и парадокс Белла, показывающих непригодность понятий классической механики к СТО. Они показывают невозможность, соответственно, раскрутить и придать ускорение гипотетическому «абсолютно твёрдому телу».
Примечания
Литература
- Физическая энциклопедия, т.2 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.608-609.
См. также
- Форма релятивистских объектов
- Прецессия Томаса
- Релятивистское замедление времени
- Парадокс шеста и сарая
- ↑ Шаблон:Citation
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ И.П. Стаханов Релятивистское сокращение длины // Зарембо Л.К., Болотовский Б.М., Стаханов И.П Школьникам о современной физике. Акустика. Теория относительности. Биофизика. — М., Просвещение, 1990. — c. 56-69
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Citation
- ↑ 6,0 6,1 Шаблон:Cite journal; Original: Der Verfasser hat mit Unrecht einen Unterschied der Lorentzschen Auffassung von der meinigen mit Bezug auf die physikalischen Tatsachen statuiert. Die Frage, ob die Lorentz-Verkürzung wirklich besteht oder nicht, ist irreführend. Sie besteht nämlich nicht "wirklich", insofern sie für einen mitbewegten Beobachter nicht existiert; sie besteht aber "wirklich", d. h. in solcher Weise, daß sie prinzipiell durch physikalische Mittel nachgewiesen werden könnte, für einen nicht mitbewegten Beobachter.
