Русская Википедия:Магический шестиугольник
Магический шестиугольник или магический гексагон порядка <math>n</math> — набор чисел, расположенный в центрированной шестиугольной решётке со стороной <math>n</math> таким образом, что сумма чисел в каждой строке во всех направлениях равна некоей магической константе <math>M . </math>
| Файл:MagicHexagon-Order1.svg | Файл:MagicHexagon-Order3-a.svg |
| Порядок n = 1 <math>M = 1</math> |
Порядок n = 3 <math>M = 38</math> |
Обычный магический шестиугольник может быть только порядка <math>n = 1</math> (случай тривиален, и здесь речь о нём идти не будет) или <math> n = 3 </math> и может содержать числа от единицы до <math> 3n^2 - 3n + 1 . </math> Более того, если не считать зеркальных, существует только один магический шестиугольник порядка <math>n = 3 . </math>
Магический шестиугольник публиковался много раз как новое явление. Первооткрывателем, вероятно, является Эрнст фон Хасельберг (нем. Ernst von Haselberg) в 1887 году. Шаблон:Нет АИ
Доказательство единственности
Докажем, что существуют магические шестиугольники только порядка <math>n = 1</math> и <math>n = 3 . </math>
Вычислим магическую константу <math>M . </math> С одной стороны, гексагон содержит числа от единицы до <math> 3n^2 - 3n + 1 </math> (это легко доказать, разложив фигуру на три параллелограмма). То есть, сумма всех чисел в гексагоне
- <math>S = \cfrac {3 n^2 - 3 n + 1} {2} (3 n^2 - 3n + 2) . </math>
С другой стороны, есть <math>2n - 1</math> рядов (например, вертикальных), которые включают в себя все числа в шестиугольнике. Так как сумма чисел в каждом ряду равна <math>M , </math> то во всём шестиугольнике будет <math> S = M(2n - 1) . </math>
Приравняв суммы, получим, что
- <math>32M = 72n^3 - 108n^2 + 90n - 27 + \cfrac {5} {2n - 1}</math>
Слева стоит целое число. Значит, справа должно тоже быть целое число.
Значит, <math>\cfrac {5} {2n - 1}</math> — это целое число, что возможно только при <math>n = 1</math> и <math>n = 3 . </math>
QED.
Аномальные магические шестиугольники
Хотя нормальных магических шестиугольников порядка, отличного от <math>n = 3</math> не существует, существуют аномальные магические шестиугольники иных порядков.
Аномальными магическими шестиугольниками назовём шестиугольники, образованные по указанным выше правилам, однако, начинающие отсчёт чисел не от единицы, а от иного числа.
| 14 33 30 34 39 6 24 20 22 37 13 11 8 25 17 21 23 7 9 3 10 38 36 4 5 12 28 26 35 16 18 27 15 19 31 29 32 |
41 51 63 45 44 64 25 40 46 35 34 23 20 10 56 27 42 66 55 38 19 9 6 22 48 47 61 58 18 11 8 7 13 15 53 52 37 14 16 30 12 24 59 57 32 29 21 17 39 49 31 36 62 28 54 33 43 26 60 65 50 |
56 61 70 67 51 55 45 36 48 53 68 74 37 26 29 27 39 73 62 42 33 19 16 31 38 64 58 57 22 20 15 18 23 43 49 63 47 28 21 17 30 34 65 71 35 24 32 25 46 72 59 44 40 41 52 69 54 60 75 66 50 |
| Порядок 4 <math>M = 111</math> Начинается с <math>3</math> и кончается <math>39</math> |
Порядок 5 <math>M = 244</math> Начинается с <math>7</math> и кончается <math>66</math>. |
Порядок 5 <math>M = 305</math> Начинается с <math>15</math> и кончается <math>75</math>. |
Магический гексагон порядка <math>n = 6</math>, начинающийся с <math>21</math> и кончающийся <math>111</math> (<math>M = 546</math>) был создан Louis Hoelbling 11 октября 2004 года.
Гексагон порядка <math>n = 7</math>, начинающийся с 2 и кончающийся 128 (<math>M = 635</math>) был создан Arsen Zahray 22 марта 2006 года.
Наибольший из известных на данный момент гексагон порядка <math>n = 8</math>, начинающийся с −84 и кончающийся 84 (<math>M = 0</math>) был создан Louis K. Hoelbling 5 февраля 2006 года.
См. также
Примечания
Литература
- Baker. J. E. and King, D. R. (2004) «The use of visual schema to find properties of a hexagon» Visual Mathematics, Volume 5, Number 3
- Baker, J. E. and Baker, A. J. (2004) «The hexagon, nature’s choice» Archimedes, Volume 4
