Русская Википедия:Магма (алгебра)
Шаблон:Другие значения Магма (группоид) в общей алгебре — алгебра, состоящая из множества Шаблон:Math с одной бинарной операцией Шаблон:Math. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.
Термин «магма» был предложен Бурбаки. Термин «группоид» старше, он предложен Ойстином Оре, однако этот термин также относится к другой общеалгебраической структуре — теоретико-категорному группоиду, и в более современной литературе чаще используется в этом смысле.
Обобщённо магмы обычно не изучаются; вместо этого изучаются различные типы, отличающиеся дополнительно вводимыми аксиомами. Обычно изучаемые типы магм включают следующие:
- квазигруппа — непустая магма, в которой всегда возможно деление;
- лупа — квазигруппа с нейтральным элементом;
- полугруппа — магма с ассоциативной операцией;
- моноид — полугруппа с нейтральным элементом;
- группа — моноид с обратным элементом или, то же что, ассоциативная петля (всегда являющаяся квазигруппой);
- абелева группа — группа с коммутативной операцией.
Морфизм магм — это функция <math>f\colon M\to N</math>, соотносящая магме <math>M</math> магму <math>N</math>, которая сохраняет бинарную операцию:
- <math>f(x \; *_M \;y) = f(x) \; *_N\; f(y)</math>
где <math>*_M</math> и <math>*_N</math> обозначают бинарные операции на <math>M</math> и на <math>N</math> соответственно.
Комбинаторика и скобки
Для общего, неассоциативного случая, операция магмы может быть многократно повторена. Для обозначения порядка используются скобки. Результирующая строка состоит из символов, обозначающих элементы магмы, и сбалансированных скобок. Множество всех возможных строк сбалансированных скобок называется языком Дика. Общее число различных способов записи n применений оператора магмы определяется числом Каталана <math>C_n</math>. Так например, <math>C_2=2</math>, что эквивалентно утверждению, что <math>(ab)c</math> и <math>a(bc)</math> — единственно возможные способы определения порядка двукратного применения бинарной операции магмы.
Для упрощения записи и сокращения числа используемых скобок используется условное обозначение. Для того, чтобы обозначить более высокий приоритет у выполнения операции, используют запись рядом. Например, если операция магмы «·», то Шаблон:Math — сокращённая запись Шаблон:Math. Дальнейшие сокращения возможны за счёт использования пробелов. Например, записывая Шаблон:Math вместо Шаблон:Math. Разумеется, для более сложных выражений отказ от использования скобок затруднителен. Способом избежать использования скобок является префиксная запись, которая, однако, неинтуитивна.
Литература
