Русская Википедия:Магнитная индукция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Не путать Шаблон:Физическая величина Шаблон:Электродинамика Магни́тная инду́кция — векторная физическая величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля, а именно характеристикой его действия на движущиеся заряженные частицы и на обладающие магнитным моментом тела.

Стандартное обозначение: <math>\vec B</math>; единица измерения в СИ — теслаШаблон:Nbsp(Тл), в СГС — гауссШаблон:Nbsp(Гс) (связь: 1 Тл = 10⁴ Гс).

Величина магнитной индукции фигурирует в ряде важнейших формул электродинамики, включая уравнения Максвелла.

Для измерения магнитной индукции <math>\vec B</math> используются магнитометры-тесламетры. Также она может быть найдена расчётным путём — в статической ситуации для этого достаточно знать пространственное распределение токов.

Вектор <math>\vec B</math> в общем случае зависит от координат рассматриваемой точки и времени <math>t</math>. Он не инвариантен относительно преобразований Лоренца и изменяется при смене системы отсчёта.

Физический смысл

Магнитная индукция <math>\vec B</math> — это такой вектор, что сила Лоренца <math>\vec F</math>, действующая со стороны магнитного поля на заряд <math>q^*</math>, движущийся со скоростью <math>\vec v</math>, равна

<math>\vec F = q^* \left[ \vec v \times \vec B \right]</math>

(по величине <math>F = q^* v B \sin\alpha</math>).

Косым крестом обозначено векторное произведение, α — угол между векторами скорости и магнитной индукции (вектор <math>\vec F</math> перпендикулярен им обоим и направлен по правилу левой руки).

Также магнитная индукция может быть определена как отношение максимального механического момента сил, действующих на рамку с током, помещённую в предполагаемое однородным (на расстояниях порядка размера рамки) магнитное поле, к произведению силы тока <math>I^*</math> в рамке на её площадь. Момент сил зависит от ориентации рамки и достигает максимального значения при каких-то определённых углах. Звёздочка у символа указывает на то, что заряд или ток являются «пробными», то есть используемыми именно для регистрации поля, в отличие от тех же величин без звёздочки.

Магнитная индукция выступает основной, фундаментальной характеристикой магнитного поля, аналогичной вектору напряжённости электрического поля <math>\vec{E}</math>.

Способы расчёта

Общий случай

В общем случае расчёт магнитной индукции проводится совместно с расчётом электрической составляющей электромагнитного поля посредством решения системы уравнений Максвелла:

<math>\mathrm{div}\,(\varepsilon\vec E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0},\ \ \

\mathrm{rot}\,\vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}, </math>

<math>\mathrm{div}\,\vec B = 0,\ \ \ \ \, \mathrm{rot}\,\frac{\vec B}{\mu} = \mu_0\vec j + \frac{\varepsilon}{c^2}\frac{\partial \vec E}{\partial t}

</math>, где <math>\mu_0</math> — магнитная постоянная, <math>\mu</math> — магнитная проницаемость, <math>\varepsilon</math> — диэлектрическая проницаемость, а <math>c</math> — скорость света в вакууме. Через <math>\rho</math> обозначена плотность заряда (Кл/м³) и через <math>\vec{j}</math> плотность тока (А/м²).

Магнитостатика

В магнитостатическом пределе расчёт магнитного поля может быть выполнен с использованием формулы Био—Савара—Лапласа. Вид этой формулы несколько различен для ситуаций, когда поле создаётся текущим по проводу <math>L_1</math> током <math>I</math> и когда оно создаётся объёмным распределением тока:

<math>\vec B \left( \vec r \right)

= {\mu_0 \over 4\pi}\int\limits_{L_1} \frac{ I \left( \vec r_1 \right)d \vec{l}_1 \times \left( \vec r - \vec r_1 \right)}{\left| \vec r - \vec r_1 \right|^3},\qquad \vec B \left( \vec r \right) = {\mu_0 \over 4\pi}\int \frac{ \vec{j} \left( \vec r_1 \right) dV_1 \times \left( \vec r - \vec r_1 \right)}{ \left| \vec r - \vec r_1 \right|^3}</math>. В магнитостатике эта формула играет ту же роль, что закон Кулона в электростатике. Формула позволяет вычислить магнитную индукцию в вакууме. Для случая магнитной среды необходимо использовать уравнения Максвелла (без слагаемых с производными по времени).

Если заранее очевидна геометрия поля, помогает теорема Ампера о циркуляции магнитного поля (эта запись является интегральной формой уравнения Максвелла для <math>\mathrm{rot}\,\vec B</math> в вакууме):

<math>\oint\limits_{L} \vec B\cdot d\vec{l}

= \mu_0\int\limits_S \vec j \cdot d\vec{S}</math>. Здесь <math>S</math> — произвольная поверхность, натянутая на выбранный замкнутый контур <math>L</math>.

Простые примеры

Вектор магнитной индукции прямого провода с током <math>I</math> на расстоянии <math>a</math> от него составляет

<math>\vec{B} = \frac{\mu_0\mu I}{2\pi a}\cdot\vec{e}_{\varphi} </math>,

где <math>\vec{e}_{\varphi}</math> — единичный вектор вдоль окружности, по оси симметрии которой проложен провод. Предполагается, что среда однородна.

Вектор магнитной индукции прямого внутри соленоида с током <math>I</math> и числом витков на единицу длины <math>n</math> равен

<math>\vec{B} = \mu_0\mu nI\cdot\vec{e}_z</math>,

где <math>\vec{e}_{z}</math> — единичный вектор вдоль оси соленоида. Здесь также предполагается однородность магнетика, которым заполнен соленоид.

Связь с напряжённостью

Магнитная индукция и напряжённость магнитного поля связаны через соотношение

<math> \vec{B} = \mu_0\mu\vec{H}</math>,

где <math>\mu</math> — магнитная проницаемость среды (вообще говоря, это тензорная величина, но в большинстве реальных случаев её можно считать скаляром, то есть просто константой конкретного материала).

Основные уравнения

Поскольку вектор магнитной индукции является одной из основных фундаментальных физических величин в теории электромагнетизма, он входит в большое число уравнений, иногда непосредственно, иногда через связанную с ним напряжённость магнитного поля. По сути, единственная область в классической теории электромагнетизма, где он отсутствует, — это электростатика.

Некоторые из уравнений:

• Три из выписанных выше четырех уравнений Максвелла (основных уравнений электродинамики). Их физическое содержание: уравнение для <math>\mathrm{div}\,\vec B</math> — закон отсутствия монополя, для <math>\mathrm{rot}\,\vec E</math> — закон электромагнитной индукции Фарадея, для <math>\mathrm{rot}\,\vec B</math> — закон Ампера — Максвелла.
• Формула силы Лоренца при наличии и магнитного (<math>\vec{B}</math>), и электрического (<math>\vec{E}</math>) поля:

  <math>\vec F = q^* \vec E + q^* \left[ \vec v \times \vec B \right]</math>.

• Выражение для силы Ампера, действующей со стороны магнитного поля на ток (участок провода с током):

  <math>d \vec F = \left[ I^* \vec{dl} \times \vec B \right] </math> или <math>d \vec F = \left[ \vec j^* dV \times \vec B \right]</math>.

• Выражение для момента силы, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь <math>m^*</math> (виток с током, катушку или постоянный магнит):

  <math>\vec M = \vec m^* \times \vec B</math>.

• Выражение для потенциальной энергии магнитного диполя в магнитном поле:

  <math>U = - \vec m^* \cdot \vec B</math>,

из которого следуют выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле,

• Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на точечный магнитный заряд:

  <math>\vec F = K \frac{q_m^* \vec r}{r^3}.</math>

(это выражение, точно соответствующее обычному закону Кулона, широко используется для формальных вычислений, для которых ценна его простота, несмотря на то, что реальных магнитных зарядов в природе не обнаружено; также может прямо применяться к вычислению силы, действующей со стороны магнитного поля на полюс длинного тонкого магнита или соленоида).

• Выражение для плотности энергии магнитного поля

  <math>w = \frac{B^2}{2 \mu_0\mu}</math>.

Оно входит (вместе с энергией электрического поля) и в выражение для энергии электромагнитного поля, и в лагранжиан электромагнитного поля, и в его действие. Последнее же с современной точки зрения является фундаментальной основой электродинамики (как классической, так в принципе и квантовой).

Типичные значения

характерные значения магнитной индукции

объект	<math>B</math>, Тл	объект	<math>B</math>, Тл
магнитоэкранируемая комната	10-14	солнечное пятно	0,15
межзвёздное пространство	10-10	небольшой магнит (Nd-Fe-B)	0,2
магнитное поле Земли	5*10-5	большой электромагнит	1,5
1 см от провода с током 100 А	2*10-3	сильный лабораторный магнит	10
небольшой магнит (феррит)	0,01	поверхность нейтронной звезды	108

См. также

• Векторный потенциал
• Уравнения Максвелла
• Электромагнитное поле
• Тензор электромагнитного поля
• Напряжённость магнитного поля