Русская Википедия:Максимальная компактная подгруппа

Максимальная компактная подгруппа K топологической группы G — это компактное пространство с индуцированной топологией, максимальное среди всех подгрупп. Максимальные компактные подгруппы играют важную роль в классификации групп Ли и, особенно, в классификации полупростых групп Ли. Максимальные компактные подгруппы групп Ли в общем случае не единственны, но единственны с точностью до сопряжённости — они являются Шаблон:Не переведено 5.

Пример

В качестве примера используем подгруппу O(2), ортогональную группу внутри полной линейной группы GL(2, R). Связанным примером является группа круга SO(2) внутри группы SL(2, R). Очевидно, что SO(2) внутри группы SL(2, R) является компактной и не максимальной. Неединственность этих примеров можно видеть из того, что любое скалярное произведение имеет ассоциированную ортогональную группу и существенная единственность соответствует существенной единственности скалярного произведения.

Определение

Максимальная компактная подгруппа является максимальной подгруппой среди компактных подгрупп — максимальная (компактная подгруппа) — а не (альтернативное возможное чтение) Шаблон:Не переведено 5, которая оказывается компактной, которую следовало бы назвать компактной (максимальной подгруппой), но не просто максимальной группой (и, фактически, максимальная собственная подгруппа, как правило, не является компактной).

Существование и единственность

Теорема Картана — Ивасавы — Мальцева утверждает, что любая связная группа Ли (и более того, любая локально компактная группа) обладает максимальными компактными подгруппами и что они все являются сопряжёнными друг другу. Для полупростой группы Ли единственность является следствием теоремы Картана о неподвижной точке, которая утверждает, что если компактная группа действует путём изометрий на полном односвязном отрицательно искривлённом римановом многообразии, то она имеет неподвижную точку.

Максимальные компактные подгруппы связных групп Ли обычно не единственны, но они единственны с точностью до сопряжения, что означает, что если даны две максимальные компактные подгруппы K и L, имеется элемент <math>g \in G</math>, такой что^[1] <math>gKg^{-1} = L</math>, следовательно, максимальная компактная подгруппа является существенно единственной и исследователи часто говорят о максимальных компактных подгруппах как о единственной подгруппе.

Для примера полной линейной группы GL(n, R) это соответствует факту, что любое скалярное произведение на <math>\R^n</math> определяет (компактную) ортогональную группу (её группу изометрии), и что она обладает ортонормальным базисом — изменение базиса определяет элемент смежности, определяющую смежность группы изометрии классической ортогональной группы O(n, R) .

Доказательство

Для вещественной полупростой группы доказательство Картана существования и единственности максимальной компактной подгруппы можно найти в статье БореляШаблон:Sfn и книге ХелгасонаШаблон:Sfn. КартьеШаблон:Sfn и ХошильдШаблон:Sfn обсуждали распространение доказательства на связные группы Ли и локально связные компактные группы.

Для полупростых групп существование является следствием существования компактной Шаблон:Не переведено 5 некомпактной полупростой группы Ли и соответствующего Шаблон:Не переведено 5. Доказательство единственности основывается на теореме Картана о неподвижной точке и факте, что соответствующее риманово симметрическое пространство <math>G/K</math> имеет отрицательную кривизну. МостовШаблон:Sfn показал, что производная экспоненциального отображения в любой точке <math>G/K</math> удовлетворяет условию <math>|\mathrm{d exp} X| \geqslant |X|</math>. Из этого следует, что <math>G/K</math> является пространством Адамара, то есть полным метрическим пространством, удовлетворяющим ослабленную форму тождества параллелограмма в евклидовом пространстве. Единственность затем может быть выведена из Шаблон:Не переведено 5. Более того, любое ограниченное замкнутое множество в пространстве Адамара содержится в единственном наименьшем замкнутом шаре. В частности, компактная группа, действующая с помощью изометрий, должна оставлять неподвижными центрами описанных окружностей каждой из её орбит.

Доказательство единственности для полупростых групп

МостовШаблон:Sfn свёл общую задачу для полупростых групп к случаю GL(n, R). Соответствующее симметрическое пространство является пространством положительных симметричных матриц. Прямое доказательство единственности, опирающееся на элементарные свойства этого пространства, приведено в книге Хилгерта и НибаШаблон:Sfn.

Пусть <math>\mathfrak{g}</math> является вещественной полупростой алгеброй Ли с Шаблон:Не переведено 5 <math>\sigma</math>. Тогда Шаблон:Не переведено 5 инволюции <math>\sigma</math> является максимальной компактной подгруппой K и имеется спектральное разложение матрицы

<math>\displaystyle{\mathfrak{g}=\mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}}</math>,

где <math>\mathfrak{k}</math>, алгебра Ли подгруппы K, является собственным пространством +1. Разложение Картана даёт

<math>\displaystyle{G=K\cdot \exp \mathfrak{p} = K\cdot P = P\cdot K}</math>.

Если B является формой Киллинга на <math>\mathfrak{g}</math>, задаваемый выражением <math>B(X,Y) = \mathrm{Tr (ad~X)(ad~Y)}</math>, то

<math>\displaystyle{(X,Y)_\sigma=-B(X,\sigma(Y))}</math>

является вещественным скалярным произведением на <math>\mathfrak{g}</math>. При присоединённом представлении группы Ли K является подгруппой группы G, сохраняющей скалярное произведение.

Если B является другой компактной подгруппой группы G, то K является подгруппой группы G, сохраняющей это скалярное произведение.

Если H является другой компактной подгруппой группы G, то среднее скалярного произведения по H по мере Хаара даёт инвариант скалярного произведения над H. Операторы Ad p при p из P являются положительными симметричными операторами. Это новое скалярное произведение можно записать как

<math>(S\cdot X,Y)_\sigma</math>,

где S является положительным симметричным оператором на <math>\mathfrak{g}</math>, таким, что <math>\mathrm{Ad}(h)^tS \mathrm{Ad}~h = S</math> для h из H (с транспонированием, вычисленным с учётом скалярного произведения). Более того, для x из G

<math>\displaystyle{\mathrm{Ad}\, \sigma(x)=(\mathrm{Ad}\,(x)^{-1})^t}</math>.

Так что для h из H

<math>\displaystyle{S\circ \mathrm{Ad}(\sigma(h))=\mathrm{Ad}(h)\circ S}</math>.

Для X из <math>\mathfrak{p}</math> определим

<math>\displaystyle{f(e^X)=\mathrm{Tr}\, \mathrm{Ad}(e^X) S}</math>.

Если <math>e_i</math> является ортонормальным базисом собственных векторов для S с <math>Se_i = \lambda_i e_i</math>, то

<math>\displaystyle{f(e^X)=\sum \lambda_i (\mathrm{Ad}(e^X)e_i,e_i)_\sigma \geqslant (\min \lambda_i)\cdot \mathrm{Tr}\,e^{\mathrm{ad}\,X}}</math>,

так что f является строго положительной и стремится к <math>\infty</math> при <math>|X|</math> стремящемся к <math>\infty</math>. Фактически эта норма эквивалентна оператору нормы на симметричных операторах <math>\mathrm{ad}~X</math> и любое ненулевое собственное значение появляется вместе с отрицательным значением, поскольку <math>i~\mathrm{ad}~X</math> является кососопряжённым оператором на компактной вещественной форме <math>\mathfrak{k}\oplus i\mathfrak{p}</math>. Таким образом, f имеет глобальный минимум, скажем в Y. Этот минимум единственнен, поскольку, если Z является другим минимумом,

<math>\displaystyle{e^Z=e^{Y/2} e^X e^{Y/2}}</math>,

где X в <math>\mathfrak{p}</math> определяется разложением Картана

<math>\displaystyle{e^{Z/2}e^{-Y/2}=k\cdot e^{X/2}}</math>.

Если <math>f_i</math> является ортонормированным базисом собственных векторов <math>\mathrm{ad}~X</math> с соответствующими вещественными собственными значениями <math>\mu_i</math>, то

<math>\displaystyle{g(t)= f(e^{Y/2}e^{tX}e^{Y/2})= \sum e^{\mu_i t} \|Ad(e^{Y/2})f_i\|^2_\sigma}</math>.

Поскольку правая часть является положительной комбинацией степеней, вещественнозначная функция g является строго выпуклой, если X ≠ 0, так что имеет единственный минимум. С другой стороны, функция имеет локальный минимум в точках t = 0 и t = 1, поскольку X = 0 и p = exp Y является единственным глобальным минимумом. По построению <math>f(x)=f(\sigma(h)xh^{-1})</math> для h из H, так что <math>p = \sigma(h)ph^{-1}</math> для h из H. Следовательно, <math>\sigma(h)= php^{-1}</math>. Отсюда следует, что в случае <math>g = \mathrm{exp} Y/2, gHg^{-1}</math> является неподвижной для <math>\sigma</math> и потому лежит в K.

Приложения

Теория представлений

Максимальные компактные подгруппы играют основную роль в теории представлений, когда G не компактна. В этом случае максимальная компактная подгруппа K является Шаблон:Не переведено 5 (поскольку замкнутая подгруппа группы Ли является группой Ли), для которой теория проще.

Операции, связанные с теорией представлений G и K, являются Шаблон:Не переведено 5 из G в K и Шаблон:Не переведено 5 из K в G и это вполне понятно. Эти теории включают теорию Шаблон:Не переведено 5.

Топология

Алгебраическая топология групп Ли переносится также на максимальную компактную подгруппу K. Для точности, связная группа Ли является топологическим произведением (хотя не групповым произведением) максимальной компактной подгруппы K и евклидова пространства <math>G = K \times \R^d</math>. Тогда, в частности, K является деформационным ретрактом группы G и гомотопически эквивалентен ей, а следовательно, они имеют те же самые гомотопические группы. Более того, включение <math>K \hookrightarrow G</math> и деформационный ретракт <math>G \twoheadrightarrow K</math> являются гомотопическими эквивалентностями.

Для полной линейной группы эта декомпозиция является QR-разложением, а деформационный ретракт является процессом Грама — Шмидта. Для общих полупростых групп разложение является Шаблон:Не переведено 5 группы G в виде G=KAN, где K встречается вместе со стягиваемой подгруппой AN.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin2

Шаблон:Refend

Шаблон:Rq

↑ Заметим, что элемент g не единственнен — подходит любой элемент в том же классе смежности gK.

[1] Заметим, что элемент g не единственнен — подходит любой элемент в том же классе смежности gK.

[1]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.