Русская Википедия:Марковский момент времени

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.

Дискретный случай

Пусть дана последовательность случайных величин <math>\{Y_n\}_{n \ge 0}</math>. Тогда случайная величина <math>\tau</math> называется марковским моментом (времени), если для любого <math>n \ge 0</math> событие <math>\{\tau \le n\}</math> зависит только от случайных величин <math>Y_0,\ldots, Y_n</math>.

Пример

Пусть <math>\{Y_n\}_{n \ge 0}</math> — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть <math>L \in \mathbb{R}</math>, и

<math>\tau = \inf \{ n \ge 0 \mid Y_n \ge L \}</math>

— момент первого достижения процессом <math>\{Y_n\}</math> уровня <math>L</math>. Тогда <math>\tau</math> — марковский момент, ибо <math>\tau \le n</math> тогда и только тогда, когда существует <math>i\in \mathbb{N},\; 0 \le i \le n</math> такое, что <math>Y_i \ge L</math>. Таким образом событие <math>\{\tau \le n\}</math> зависит лишь от поведения процесса до момента времени <math>n</math>.

Пусть теперь

<math> \sigma = \sup \{ n \ge 0 \mid Y_n \ge L \}</math>

— момент последнего достижения процессом <math>\{Y_n\}</math> уровня <math>L</math>. Тогда <math>\sigma</math> не является марковским моментом, ибо событие <math>\{\sigma \le n\}</math> предполагает знание поведения процесса в будущем.

Общий случай

• Пусть дано вероятностное пространство <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> с фильтрацией <math>\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}</math>, где <math> T \subset [0, \infty)</math>. Тогда случайная величина <math>\tau</math> принимающая значения в <math>T \cup \{\infty\}</math> называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если <math>\{ \tau \le t \} \in \mathcal{F}_t,\quad \forall t \in T</math>.

• Если дан процесс <math>\{X_t\}_{t \in T}</math>, и <math>\mathcal{F}_t = \sigma (X_s \mid s \le t)</math> — его естественные σ-алгебры, то говорят, что <math>\tau</math> — марковский момент относительно процесса <math>\{X_t\}</math>.

• Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть

<math>\mathbb{P}(\tau < \infty) = 1 </math>.

Свойства

Если <math>\tau</math> и <math>\sigma</math> — марковские моменты, то

• <math>\tau + \sigma</math> — марковский момент;
• <math>\tau \wedge \sigma \equiv \min(\tau, \sigma)</math> — марковский момент;
• <math>\tau \vee \sigma \equiv \max(\tau, \sigma)</math> — марковский момент.

Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.

Пример

Пусть <math>\{W_t\}_{t \ge 0}</math> — стандартный винеровский процесс. Пусть <math> \alpha > 0</math>. Определим

<math>\tau = \inf \{t \ge 0 \mid W_t \ge \alpha \}</math>.

Тогда <math>\tau</math> — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности

<math>f_{\tau}(t) = \frac{\alpha}{\sqrt{2 \pi t^3}}e^{-\frac{\alpha^2}{2t}},\quad t \ge 0</math>.

В частности <math>\tau</math> — момент остановки. Однако,

<math>\mathbb{E} \tau = \infty</math>.