Русская Википедия:Математика кубика Рубика

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Эта статья Шаблон:Универсальная карточка

Файл:Rubik's cube resolved.svg
Запутанный (снизу) и собранный (сверху) кубик Рубика

Математика кубика Рубика — совокупность математических методов для изучения свойств кубика Рубика с абстрактно-математической точки зрения. Это направление математики изучает алгоритмы сборки кубика и оценивает их. Основана на теории графов, теории групп, теории вычислимости и комбинаторике.

Существует множество алгоритмов, предназначенных для перевода кубика Рубика из произвольной конфигурации в конечную конфигурацию (собранный куб). В 2010 году строго доказано, что для перевода кубика Рубика из произвольной конфигурации в собранную конфигурацию (часто этот процесс называют «сборкой» или «решением») достаточно не более чем 20 поворотов граней[1]. Это число — диаметр графа Кэли группы кубика Рубика[2]. В 2014 году доказано, что для решения кубика Рубика только с помощью поворотов граней на 90° всегда достаточно 26 ходов[3].

Алгоритм, который решает головоломку за минимально возможное количество ходов, называют алгоритмом БогаШаблон:Переход.

Обозначения

В этой статье для обозначения последовательности поворотов граней кубика Рубика 3×3×3 используются «обозначения Сингмастера»Шаблон:Sfn[4], разработанные Дэвидом Сингмастером и опубликованные им в 1981 году.

Буквы <math>L,R,F,B,U,D</math> обозначают поворот на 90° по часовой стрелке левой (left), правой (right), передней (front), задней (back), верхней (up) и нижней (down) граней соответственно. Повороты на 180° обозначаются добавлением справа к букве цифры 2 или добавлением в верхнем индексе цифры 2 справа от буквы. Поворот на 90° против часовой стрелки обозначается добавлением штриха Шаблон:S или добавлением в верхнем индексе -1 справа от буквы. Так, например, записи <math>L^2</math> и <math>L2</math> эквивалентны, так же как записи <math>L'</math> и <math>L^{-1}</math>.

Метрики графа конфигураций

Существует два наиболее распространённых способа измерения длины решения (метрики). Первый способ — одним ходом решения считается поворот грани на 90° (quarter turn metric, QTM). По второму способу, за 1 ход также считается и полуоборот грани (face turn metric, FTM, иногда это обозначают HTM — half-turn metric). Так, F2 (поворот передней грани на 180°) должен считаться за два хода в метрике QTM или за 1 ход в метрике FTM[5][6].

Для указания в тексте длины последовательности для используемой метрики используется нотация[7][8][9], состоящая из цифр числа ходов и строчной первой буквы обозначения метрики. 14f обозначает «14 ходов в метрике FTM», а 10q — «10 ходов в метрике QTM». Чтобы указать, что количество ходов является минимальным в данной метрике, используется звёздочка: 10f* обозначает оптимальность решения в 10 ходов FTM.

Группа кубика Рубика

Шаблон:Main Кубик Рубика может рассматриваться как пример математической группы.

Каждый из шести поворотов граней кубика Рубика может рассматриваться как элемент симметрической группы множества 48 этикеток кубика Рубика, не являющихся центрами граней. Более конкретно, можно пометить все 48 этикеток числами от 1 до 48 и сопоставить каждому из ходов <math> \{F,B,U,D,L,R\}</math> элемент симметрической группы <math>S_{48}</math>.

Тогда группа кубика Рубика <math>G</math> определяется как подгруппа <math>S_{48}</math>, порождаемая шестью поворотами граней:

<math>G=\langle F,B,U,D,L,R\rangle.</math>

Порядок группы <math>G</math> равен [10][11]

<math>|G| = \dfrac{8!\cdot 12!\cdot 3^8\cdot 2^{12}}{3\cdot 2\cdot 2} = 43\,252\,003\,274\,489\,856\,000 = 2^{27}\cdot 3^{14}\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot 11.</math>

Каждая из <math>4{,}325\cdot 10^{19}</math> конфигураций может быть решена не более чем за 20 ходов (если считать за ход любой поворот грани)[1].

Наибольший порядок элемента в <math>G</math> равен 1260. Например, последовательность ходов <math>(R\ U^2\ D^{\prime}\ B\ D^{\prime})</math> необходимо повторить 1260 раз, прежде чем кубик Рубика вернётся в исходное состояниеШаблон:Sfn.

Алгоритм Бога

Шаблон:Seealso Алгоритм Бога начали искать не позже 1980 года, когда открылся список рассылки для любителей кубика Рубика[5]. С тех пор математики, программисты и любители стремились найти алгоритм Бога, чтобы на практике за минимальное число ходов собирать кубик Рубика. С этой проблемой была связана проблема определения числа Бога — числа ходов, всегда достаточного для сборки головоломки.

В 2010 году программист из Пало-Альто Томас Рокики, учитель математики из Дармштадта Герберт Коцемба, математик из Кентского университета Морли Дэвидсон и инженер компании Google Inc. Джон Детридж доказали, что кубик Рубика из любого разобранного состояния можно собрать за 20 ходов. При этом любой поворот грани считался одним ходом. Объём вычислений составил 35 лет процессорного времени, пожертвованного компанией Google[1][12][13]. Технические данные о производительности и количестве компьютеров не разглашаются. Продолжительность вычислений составляла несколько недель[14][15][16].

В 2014 году Томас Рокики и Морли Дэвидсон доказали, что кубик Рубика можно собрать не более чем в 26 ходов без использования поворотов на 180°. Объём вычислений составил 29 лет процессорного времени в суперкомпьютерном центре Огайо[3].

Нижние оценки числа Бога

Легко показать, что существуют разрешимые конфигурации[17], которые не могут быть решены менее чем в 17 ходов в метрике FTM или 19 ходов в метрике QTM.

Эту оценку можно улучшить, принимая во внимание дополнительные тождества: коммутативность поворотов двух противоположных граней (L R = R L, L2 R = R L2 и т. д.) Подобный подход позволяет получить нижнюю оценку для числа Бога в 18f или 21q[18][19].

Файл:Superflip.gif
«Суперфлип» — первая обнаруженная конфигурация, находящаяся на расстоянии 20f* от начальной

Эта оценка долго оставалась наилучшей известной. Она вытекает из неконструктивного доказательства, так как оно не указывает конкретный пример конфигурации, требующей для сборки 18f или 21q.

Одной из конфигураций, для которой не удавалось найти короткое решение, был так называемый «суперфлип» или «12-флип». В «Суперфлипе» все угловые и рёберные кубики находятся на своих местах, но каждый рёберный кубик ориентирован противоположно[20]. Вершина, отвечающая суперфлипу в графе кубика Рубика, — локальный максимум: любой ход из этой конфигурации уменьшает расстояние до начальной конфигурации. Это позволило предположить, что суперфлип находится на максимальном расстоянии от начальной конфигурации. То есть суперфлип — это глобальный максимум[21]Шаблон:Sfn[22].

В 1992 году Дик Т. Винтер нашёл решение суперфлипа в 20f[23]. В 1995 году Майкл Рид доказал оптимальность этого решения[24], в результате чего нижняя оценка числа Бога стала равной 20 FTM. В 1995 году Майкл Рид обнаружил решение «суперфлипа» в 24q[25]. Оптимальность этого решения доказал Джерри Брайан[26]. В 1998 году Майкл Рид нашёл конфигурацию, оптимальное решение которой составляло 26q*[27].

Верхние оценки числа Бога

Чтобы получить оценку сверху для числа Бога, достаточно указать любой алгоритм сборки головоломки, состоящий из конечного числа ходов.

Первые оценки сверху для числа Бога были основаны на «человеческих» алгоритмах, состоящих из нескольких этапов. Сложение оценок сверху для каждого из этапов позволяло получить итоговую оценку порядка нескольких десятков или сотен ходов.

Вероятно, первую конкретную оценку сверху дал Дэвид Сингмастер в 1979 году. Его алгоритм сборки позволял собирать головоломку не более чем за 277 ходов[14][28]. Позднее Сингмастер сообщил, что Элвин Берлекэмп, Джон Конвей и Ричард Гай разработали алгоритм сборки, требующий не более 160 ходов. Вскоре группа «Conway’s Cambridge Cubists», составлявшая список комбинаций для одной грани, нашла 94-ходовый алгоритм[14][29]. В 1982 году в журнале «Квант» был опубликован список комбинаций, позволяющих решить кубик Рубика в 79 ходов[30].

Алгоритм Тистлетуэйта

В начале 1980-х английский математик Морвин Тистлетуэйт разработал алгоритм, позволивший значительно улучшить верхнюю оценку. Детали алгоритма опубликовал Дуглас Хофштадтер в 1981 году в журнале Scientific American. Алгоритм был основан на теории групп и включал в себя четыре этапа.

Описание

Тистлетуэйт использовал ряд подгрупп длины 4

<math>G=G_0\supseteq G_1\supseteq G_2\supseteq G_3\supseteq G_4=\{1\},</math>

где

  • <math>G_0=\langle L,R,F,B,U,D\rangle.</math>
Эта группа совпадает с группой кубика Рубика <math>G</math>. Её порядок равен[31][32]
<math>\dfrac{8!\cdot 3^8}{3}\cdot\dfrac{12!\cdot 2^{12}}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=43\,252\,003\,274\,489\,856\,000.</math>
  • <math>G_1=\langle L^2,R^2,F,B,U,D\rangle.</math>
Эта подгруппа включает в себя все конфигурации, которые могут быть решены без использования поворотов левой или правой граней на ±90°. Её порядок равен
<math>\dfrac{8!\cdot 3^8}{3}\cdot 12!\cdot\dfrac{1}{2}=21\,119\,142\,223\,872\,000.</math>
  • <math>G_2=\langle L^2,R^2,F^2,B^2,U,D\rangle.</math>
Эта подгруппа включает в себя все конфигурации, которые могут быть решены при условии, что повороты четырёх вертикальных граней на ±90° запрещены. Её порядок равен
<math>8!\cdot (8!\cdot 4!)\cdot\dfrac{1}{2}=19\,508\,428\,800.</math>
  • <math>G_3=\langle L^2,R^2,F^2,B^2,U^2,D^2\rangle.</math>
Эта подгруппа включает в себя все конфигурации, которые могут быть решены с использованием только поворотов на 180° (half-turns). Она получила название «группа квадратов» (squares group). Её порядок равен
<math>(4!\cdot 4)\cdot\dfrac{4!\cdot 4!\cdot 4!}{2}\cdot 1=663\,552.</math>
  • <math>G_4=\{1\}.</math>
Эта подгруппа включает в себя единственную начальную конфигурацию.

На первом этапе произвольно заданная конфигурация из группы <math>G</math> приводится к конфигурации, лежащей в подгруппе <math>G_1</math>. Цель второго этапа состоит в том, чтобы привести кубик к конфигурации, находящейся в подгруппе <math>G_2</math>, не используя поворотов левой и правой граней на ±90°. На третьем этапе кубик Рубика приводится к конфигурации, принадлежащей группе <math>G_3</math>, при этом повороты вертикальных граней на ±90° запрещены. На заключительном, четвёртом этапе, кубик Рубика полностью собирается поворотами граней на 180°.

Индексы подгрупп <math>[G_i:G_{i+1}]</math> при <math>i=0,1,2,3</math> равны соответственно 2048, 1082565, 29400 и 663552.

Для каждого из четырёх семейств правых смежных классов <math>G_i/G_{i+1}</math> строится таблица поиска <math>T_i</math>, размер которой совпадает с индексом подгруппы <math>G_{i+1}</math> в группе <math>G_i</math>. Для каждого класса смежности по подгруппе <math>G_{i}</math> таблица поиска <math>T_i</math> содержит последовательность ходов, переводящую любую конфигурацию из этого класса смежности в конфигурацию, лежащую в самой подгруппе <math>G_i</math>.

Чтобы уменьшить количество записей в таблицах поиска, Тистлетуэйт использовал упрощающие предварительные ходы. Первоначально он получил оценку в 85 ходов. В течение 1980 года эта оценка была снижена до 80 ходов, затем до 63 и 52[14][33]. Студенты Тистлетуэйта провели полный анализ каждого из этапов. Максимальные значения в таблицах равны 7, 10, 13 и 15 ходам FTM соответственно. Так как 7 + 10 + 13 + 15 = 45, кубик Рубика всегда может быть решён в 45 ходов FTM[22][34][35].

Граф Шрайера

Шаблон:Нп5 — граф <math>S(G,X,H)</math>, ассоциированный с группой <math>G</math>, порождающим множеством <math>X=\{x_i|i\in I\}</math> и подгруппой <math>H\subseteq G</math>. Каждая вершина графа Шрайера является правым смежным классом <math>Hg=\{hg|h\in H\}</math> для некоторого <math>g\in G</math>. Рёбра графа Шрайера представляют собой пары <math>(Hg,Hgx_i)</math>.

Каждый из четырёх этапов алгоритма Тистлетуэйта представляет собой обход в ширину графа Шрайера <math>S_i(G_i,X_i,G_{i+1})</math>, где <math>X_i</math> — порождающее множество группы <math>G_i</math>.

Таким образом, верхняя оценка в 45 ходов равна

<math>\sum_{i=0}^{3} \epsilon(v_i),</math>

где

<math>\epsilon(v_i)</math> — эксцентриситет вершины <math>v_i\in S_i</math>, соответствующей единичному смежному классу <math>G_{i+1}</math>.

Понятие графа Шрайера было использовано в работах Раду[36], Канкла и Купермана[37].

Модификации алгоритма Тистлетуэйта

В декабре 1990 года Ханс Клоостерман использовал модифицированную версию метода Тистлетуэйта для доказательства достаточности 42 ходов[1][18][38].

В мае 1992 года Майкл Рид показал достаточность 39f или 56q[39]. В его модификации использовалась следующая цепочка подгрупп:

  • <math>G_0=\langle U,F,R,L,B,D\rangle</math>
  • <math>G_1=\langle U,R,F\rangle</math>
  • <math>G_2=\langle U,R^2,F^2\rangle</math>
  • <math>G_3=\{1\}</math>

Уже через несколько дней Дик Т. Винтер снизил оценку в метрике FTM до 37 ходов[40].

В декабре 2002 года Райан Хайз разработал вариант алгоритма Тистлетуэйта, предназначенный для скоростной сборки кубика Рубика[41].

Двухфазный алгоритм Коцембы

Файл:Rubik-3-facelet-kociemba.png
Промежуточное состояние кубика Рубика в алгоритме Коцембы. Ходы, разрешённые на втором этапе, сохраняют расположение меток «+» и «−»

Алгоритм Тистлетуэйта в 1992 году улучшил учитель математики из Дармштадта Герберт Коцемба.

Описание

Коцемба сократил количество этапов алгоритма до двух[18][42][43]:

  • <math>G_0=\langle U,D,L,R,F,B\rangle</math>
  • <math>G_1=\langle U,D,L^2,R^2,F^2,B^2\rangle</math>
  • <math>G_2=\{1\}</math>

Наглядное описание группы <math>G_1</math> можно получить, если произвести следующую разметку[18][44]:

  • Все этикетки U и D пометить знаком «+».
  • Этикетки F и B на рёберных элементах FR, FL, BL и BR пометить знаком «−».
  • Все остальные этикетки оставить без меток.

Тогда все конфигурации группы <math>G_1</math> будут иметь одну и ту же разметку (совпадающую с разметкой на собранном кубике).

Решение состоит из двух этапов. На первом этапе заданная конфигурация <math>x\in G_0</math> переводится последовательностью ходов <math>s_1</math> в некоторую конфигурацию <math>x^{\prime}\in G_1</math>. Иными словами, задача первого этапа — восстановить разметку, соответствующую начальной конфигурации, игнорируя цвета этикеток.

На втором этапе конфигурация <math>x^{\prime}\in G_1</math> переводится последовательностью ходов <math>s_2</math> в начальную конфигурацию. При этом повороты боковых граней на ±90° не используются, благодаря чему разметка автоматически сохраняется.

Склейка последовательностей ходов <math>s_1</math> и <math>s_2</math> является субоптимальным решением к исходной конфигурации[18][43][45].

Альтернативные субоптимальные решения

Алгоритм Коцембы не останавливается после обнаружения первого решения. Альтернативные оптимальные решения на первом этапе могут привести к более коротким решениям второго этапа, что сократит общую длину решения. Алгоритм продолжает искать также неоптимальные решения на первом этапе в порядке возрастания их длины[18][43][45].

Особенности реализации

Для поиска решений на каждом из двух этапов применяется алгоритм IDA* с эвристическими функциями, основанными на стоимостях решения соответствующих подзадач[45].

Задача первого этапа сводится к поиску пути в пространстве с тремя координатами из разметки с координатами (x1, y1, z1) в разметку (0, 0, 0)[46]:

  1. Ориентация x1 восьми угловых элементов (2187 значений)
  2. Ориентация y1 двенадцати рёберных элементов (2048 значений)
  3. Расстановка z1 четырёх рёберных элементов FR, FL, BL и BR (495 значений)

Рассмотрим три подзадачи поиска пути из разметки (x1, y1, z1) в разметки (x1’, y1’, 0), (x1’, 0, z1’), (0, y1’, z1’). Значение эвристической функции h1, используемой на первом этапе, равно максимальной из стоимостей решения этих подзадач. Стоимости решения подзадач предварительно вычисляются и хранятся в виде баз данных с шаблонами[47][48].

Задача второго этапа сводится к поиску пути в пространстве с тремя координатами из конфигурации (x2, y2, z2) в конфигурацию (0, 0, 0)[49]:

  1. Перестановка x2 восьми угловых элементов (40320 значений)
  2. Перестановка y2 восьми рёберных элементов верхней и нижней граней (40320 значений)
  3. Перестановка z2 четырёх рёберных элементов среднего слоя (24 значения)

Рассмотрим три подзадачи поиска пути из конфигурации (x2, y2, z2) в конфигурации (x2’, y2’, 0), (x2’, 0, z2’), (0, y2’, z2’). Значение эвристической функции h2, используемой на втором этапе, равно максимальной из стоимостей решения этих подзадач.

В алгоритме применяются дополнительные оптимизации, направленные на увеличение быстродействия и уменьшение памяти, занимаемой таблицами[18][42][43][50].

Программные реализации

Cube Explorer — программная реализация алгоритма для ОС Windows. Ссылки для загрузки находятся на сайте Герберта Коцембы[51]. В 1992 году на ПК Atari ST с памятью 1 Мбайт и частотой 8 МГц алгоритм позволял в течение 1-2 минут найти решение не длиннее 22 ходов[18][42]. На современном компьютере Cube Explorer позволяет за несколько секунд найти решение не длиннее 20 ходов для произвольно заданной конфигурации[42].

Существует онлайн-версия алгоритма[52].

Анализ

В 1995 году Майкл Рид показал, что первая и вторая фазы алгоритма Коцембы могут потребовать не более 12 и 18 ходов (FTM) соответственно. Из этого следует, что кубик Рубика всегда может быть решён в 30 ходов. Дополнительный анализ показал, что всегда достаточно 29f или 42q[22][53].

Алгоритм Корфа

Алгоритм Коцембы позволяет быстро находить короткие, субоптимальные решения. Тем не менее, может потребоваться значительное время, чтобы доказать оптимальность найденного решения. Был необходим специализированный алгоритм поиска оптимальных решений.

В 1997 году опубликовал алгоритм, позволявший оптимально решать произвольные конфигурации кубика Рубика. Десять выбранных случайным образом конфигураций были решены не более чем в 18 ходов FTM[54][55].

Собственно алгоритм Корфа работает следующим образом. В первую очередь определяются подзадачи, достаточно простые для того, чтобы осуществить полный перебор. Были использованы следующие три подзадачи[22]:

  1. Состояние головоломки определяется только восемью угловыми кубиками, положения и ориентации рёбер игнорируются.
  2. Состояние головоломки определяется шестью из 12 рёберных кубиков, другие кубики игнорируются.
  3. Состояние головоломки определяется другими шестью рёберными кубиками.

Количество ходов, необходимое для решения каждой из этих подзадач, является нижней оценкой количества ходов, необходимого для полного решения. Произвольно заданная конфигурация кубика Рубика решается с помощью алгоритма IDA*, использующего эту оценку в качестве эвристики. Стоимости решения подзадач хранятся в виде баз данных с шаблонами[47][54].

Хотя этот алгоритм будет всегда находить оптимальные решения, он не позволяет напрямую определить, как много ходов может потребоваться в худшем случае.

Реализацию алгоритма на языке C можно найти в[56].

Дальнейшие улучшения

В 2005 году результат Майкла Рида в метрике QTM улучшил Силвиу Раду до 40q[57]. В 2006 году Силвиу Раду доказал, что кубик Рубика можно собрать в 27f[36] или 35q[58].

В 2007 году Дэниел Канкл и Джин Куперман использовали суперкомпьютер для доказательства того, что все нерешённые конфигурации можно решить не более чем в 26 ходов FTM. Идея состояла в том, чтобы привести кубик Рубика в одну из 15 752 конфигураций подгруппы квадратов, каждая из которых может быть окончательно решена с помощью нескольких дополнительных ходов. Большинство конфигураций удалось решить таким образом не более чем в 26 ходов. Оставшиеся конфигурации подвергли дополнительному анализу, который показал, что они также решаются в 26 ходов[37][59].

В 2008 году Томас Рокики опубликовал вычислительное доказательство разрешимости головоломки в 25 ходов FTM[60]. В августе 2008 года Рокики объявил о доказательстве разрешимости в 23f[61]. Позже эта оценка улучшилась до 22f[62]. В 2009 году ему же удалось показать разрешимость в 29 ходов QTM[63].

В 2010 году Томас Рокики, Герберт Коцемба, Морли Дэвидсон и Джон Детридж объявили о доказательстве того, что любая конфигурация кубика Рубика может быть решена не более чем в 20 ходов в метрике FTM[1][12]. Вместе с известной ранее оценкой снизу в 20f* это стало доказательством того, что число Бога кубика Рубика в метрике FTM равно 20.

В августе 2014 года Рокики и Дэвидсон объявили, что число Бога для кубика Рубика в метрике QTM равно 26[3][64].

Поиск антиподов

Конфигурацию кубика Рубика, которая расположена на максимальном расстоянии от начальной конфигурации, называют антиподом. Любой антипод в метрике FTM имеет оптимальное решение в 20f*, а любой антипод в метрике QTM имеет оптимальное решение в 26q*[3][65].

Известно, что в метрике FTM существуют миллионы антиподов[66]. Одна из таких конфигураций — «суперфлип». Напротив, в метрике QTM на данный момент известна лишь одна конфигурация-антипод (не считая конфигураций, полученных из неё поворотами) — т.н. «композиция суперфлипа и четырёх точек» (superflip composed with four spot)[27][64][65][67]. Известны лишь две конфигурации на расстоянии 25q* от начальной конфигурации и около 80 тысяч конфигураций на расстоянии 24q*[3][66].

Асимптотические оценки

В 2011 году было показано, что число Бога кубика n × n × n является Θ(n2 / log(n))[68][69].

Другие головоломки

Шаблон:Seealso

Void Cube

Void Cube — это кубик Рубика 3x3x3 без центральных элементов.

Длина оптимального решения «void-суперфлипа» в метрике FTM равна 20[70][71], что есть доказательство необходимости 20 ходов. Так как Void Cube — ослабленная задача[47] кубика Рубика, существующее доказательство достаточности 20 ходов для кубика Рубика[1] применимо к Void Cube. Следовательно, число Бога головоломки Void Cube в метрике FTM равно 20.

Кубик 4×4×4

Файл:Rubiks revenge scrambled.jpg
Кубик 4×4×4 Rubik's Revenge — «Месть Рубика»

Количество конфигураций головоломки 4×4×4 (Шаблон:Lang-en) равно[72]

<math>\frac{8! \times 3^7 \times 24!^2}{4!^6 \times 24} = 7 401 196 841 564 901 869 874 093 974 498 574 336 000 000 000 \approx 7{,}40 \times 10^{45}.</math>

Метрики 4×4×4

Существует несколько способов определения метрики для кубика 4×4×4. В этом разделе используются следующие метрики:

  • q-s (quarter slice): одним ходом считается поворот любого из 12 слоёв головоломки на ±90°;
  • q-w (quarter twist): одним ходом считается поворот любого внешнего блока (т.е. только грани или грани с несколькими идущими подряд прилегающими к ней слоями) на ±90°;
  • q-b (quarter block): одним ходом считается поворот любого внешнего или внутреннего блока (т.е. любой последовательности идущих подряд параллельных слоёв) на ±90° относительно остальной части головоломки;
  • h-s, h-w, h-b: аналогичны трём предыдущим метрикам, за исключением того, что разрешены также повороты на 180°.

Длина оптимального решения произвольной конфигурации в метрике q-b не больше, чем в метриках q-w или q-s, так как в метрике q-b разрешены все ходы двух других q-метрик. То же относится к h-метрикам.

Оценки числа Бога кубика 4×4×4

В 2006—2007 гг. Брюс Норског (Bruce Norskog) провёл 5-этапный анализ кубика 4×4×4, аналогичный 4-этапному анализу, проведённому Тистлетуэйтом для кубика Рубика 3×3×3. В результате анализа были получены верхние оценки в 82 хода в метрике h-w[73], 77 ходов в метрике h-s[74][75] и 67 ходов в метрике h-b[73].

В 2011 году Томас Рокики на основании нескольких существующих идей определил нижние оценки числа Бога в шести метриках для кубических головоломок с размерами от 2×2×2 до 20×20×20[76].

В 2013 году Shuang Chen (陈霜) снизил оценку в метрике h-w с 82 до 57 поворотов[77].

В 2015 году Томас Рокики подтвердил верхнюю оценку в 57 поворотов h-w и получил новые верхние оценки в 56 h-s и 53 h-b[78]. Уже спустя несколько дней Shuang Chen (陈霜) удалось получить верхние оценки в 55 h-w и 53 h-s, переопределив этапы доказательства[79][80].

Текущие известные верхние и нижние оценки для кубика 4×4×4 в различных метриках приведены в таблице:

Оценки числа Бога кубика 4×4×4
метрика h-s h-w h-b q-s q-w q-b
оценка снизу 32 35 29 37 41 33
оценка сверху 53 55 53 ? ? ?
Файл:Megaminx12.jpg
12-цветный мегаминкс

Мегаминкс

Мегаминкс — простейший аналог кубика Рубика в форме додекаэдра. Количество конфигураций 12-цветного Мегаминкса равно 1,01·1068.

В 2012 году Герберт Коцемба определил нижнюю оценку числа Бога для Мегаминкса, равную 45 поворотам граней на любой угол или 55 поворотам на угол ±72°[81][82].
В 2016 году Герберт Коцемба уточнил нижнюю оценку числа Бога для Мегаминкса, повысив ее до 48 поворотов граней на любой угол[83].

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Рекомендуемая литература

Ссылки

Шаблон:ВС

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок cube20 не указан текст
  2. ↑ По системе образующих, состоящей из поворотов граней на ±90° и на 180°.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок cube26_qtm не указан текст
  4. ↑ Шаблон:Статья
  5. ↑ 5,0 5,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок slocum2009 не указан текст
  6. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок jaap_metric не указан текст
  7. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок bryan_notation не указан текст
  8. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок circular_5_26 не указан текст
  9. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок jaap_puzstats не указан текст
  10. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок GAP не указан текст
  11. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок jaap_cube3 не указан текст
  12. ↑ 12,0 12,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок koci_performance не указан текст
  13. ↑ Шаблон:Публикация
  14. ↑ 14,0 14,1 14,2 14,3 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок the_quest не указан текст
  15. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок hsta не указан текст
  16. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок siam2013 не указан текст
  17. ↑ «Разрешимой» конфигурацией называется конфигурация, которая может быть переведена в собранную. Так как граф кубика Рубика ненаправленный, из этого следует, что любая конфигурация, полученная из исходной произвольной последовательностью ходов разрешима. Но существуют неразрешимые конфигурации. Например, если в собранном состоянии повернуть одну из вершин кубика на 120°, то получится неразрешимая конфигурация.
  18. ↑ 18,0 18,1 18,2 18,3 18,4 18,5 18,6 18,7 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок kvant_1992_11 не указан текст
  19. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок jaap_godal не указан текст
  20. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок reid_msymmetric не указан текст
  21. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок circular_5_24 не указан текст
  22. ↑ 22,0 22,1 22,2 22,3 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок pochmann_thesis не указан текст
  23. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок winter_92_sf не указан текст
  24. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок reid_95_sf не указан текст
  25. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок reid_95_sf_q не указан текст
  26. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок bryan_95_sf_q не указан текст
  27. ↑ 27,0 27,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок reid_98_26q не указан текст
  28. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок kaluzhnin_143 не указан текст
  29. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок singmaster_notes не указан текст
  30. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок kvant_1982_7 не указан текст
  31. ↑ Порядок этой и следующих трёх групп вычисляется как произведение трёх множителей, указывающих соответственно количество разрешимых конфигураций углов, количество разрешимых конфигураций рёбер и общее ограничение «чётности» разрешимой конфигурации.
  32. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок jaap-subgroup не указан текст
  33. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок cubeman_dotcs не указан текст
  34. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок kvant_1982_8 не указан текст
  35. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок jaap-thistle не указан текст
  36. ↑ 36,0 36,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок radu_27f не указан текст
  37. ↑ 37,0 37,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок kunkle_cooperman_2007_paper не указан текст
  38. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок kloosterman не указан текст
  39. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок reid_39f_56q не указан текст
  40. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок winter_37f не указан текст
  41. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок heise_thistle не указан текст
  42. ↑ 42,0 42,1 42,2 42,3 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок koci_imptwophase не указан текст
  43. ↑ 43,0 43,1 43,2 43,3 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок jaap_kocal не указан текст
  44. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок koci_subgroupH не указан текст
  45. ↑ 45,0 45,1 45,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок koci_twophase не указан текст
  46. ↑ Биекция между конфигурациями и тройками координат Шаблон:Wayback установлена таким образом, что целевой разметке первого этапа (т.е. любой конфигурации из группы G1) соответствует тройка (0, 0, 0).
  47. ↑ 47,0 47,1 47,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок russell_norvig_adm не указан текст
  48. ↑ Англ. pattern databases. В изложении автора алгоритма Шаблон:Wayback — «pruning tables».
  49. ↑ Из-за ограничения, связанного с чётностью перестановки элементов, встречается только половина всех троек координат.
  50. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок koci_pruning не указан текст
  51. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок koci_download не указан текст
  52. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок online_koci не указан текст
  53. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок reid_29f_42q не указан текст
  54. ↑ 54,0 54,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок korf_1997 не указан текст
  55. ↑ Шаблон:Cite news
  56. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок reid_solver не указан текст
  57. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок radu_40q не указан текст
  58. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок radu_35q не указан текст
  59. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок kunkle_cooperman_2007 не указан текст
  60. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок rokicki_25f не указан текст
  61. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок rokicki_23f не указан текст
  62. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок rokicki_22f не указан текст
  63. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок rokicki_29q не указан текст
  64. ↑ 64,0 64,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок cp4space-2015-09-25 не указан текст
  65. ↑ 65,0 65,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок jaap_cayley_distances не указан текст
  66. ↑ 66,0 66,1 Шаблон:Cite web
  67. ↑ Шаблон:Cite web
  68. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок theta2011 не указан текст
  69. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок theta2011news не указан текст
  70. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок void20_cubezzz не указан текст
  71. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок void20_ss не указан текст
  72. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок jaap_cube4 не указан текст
  73. ↑ 73,0 73,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок norskog_82w_67b не указан текст
  74. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок norskog_77s не указан текст
  75. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок pe_jaap_4x4x4 не указан текст
  76. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок rokicki_lb не указан текст
  77. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок chen_57w не указан текст
  78. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок rokicki_4x4x4_56s53b не указан текст
  79. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок chen_4x4x4_55w не указан текст
  80. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок chen_4x4x4_53s не указан текст
  81. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок megaminx_45h не указан текст
  82. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок megaminx_45h_ss не указан текст
  83. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Математика_кубика_Рубика&oldid=10349642